Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77941 / 84691
↖ ↑ ↗
← S 46.473808°
E 34.071350°		 ← 210.34 m → S 46.473808°
E 34.074097°		 →
↑
210.37 m
↓
↑
210.37 m
↓
S 46.475700°
E 34.071350°		 ← 210.34 m →
44 249 m²		 S 46.475700°
E 34.074097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594646453857422 y=0.646144866943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594646453857422 × 217)
    floor (0.594646453857422 × 131072)
    floor (77941.5)     		tx = 77941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646144866943359 × 217)
    floor (0.646144866943359 × 131072)
    floor (84691.5)     		ty = 84691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77941 / 84691 ti = "17/77941/84691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77941/84691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77941 ÷ 217
    77941 ÷ 131072     		x = 0.594642639160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84691 ÷ 217
    84691 ÷ 131072     		y = 0.646141052246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594642639160156 × 2 - 1) × π
    0.189285278320312 × 3.1415926535     		Λ = 0.59465724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646141052246094 × 2 - 1) × π
    -0.292282104492188 × 3.1415926535     		Φ = -0.918231312222176
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59465724} λ = 0.59465724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.918231312222176))-π/2
    2×atan(0.39922452054425)-π/2
    2×0.37983768162615-π/2
    0.759675363252301-1.57079632675     		φ = -0.81112096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59465724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.071350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81112096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.473808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77941 KachelY 84691 0.59465724 -0.81112096 34.071350 -46.473808
    Oben rechts KachelX + 1 77942 KachelY 84691 0.59470518 -0.81112096 34.074097 -46.473808
    Unten links KachelX 77941 KachelY + 1 84692 0.59465724 -0.81115398 34.071350 -46.475700
    Unten rechts KachelX + 1 77942 KachelY + 1 84692 0.59470518 -0.81115398 34.074097 -46.475700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81112096--0.81115398) × R
    3.30200000000502e-05 × 6371000     		dl = 210.37042000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81112096--0.81115398) × R
    3.30200000000502e-05 × 6371000     		dr = 210.37042000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59465724-0.59470518) × cos(-0.81112096) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.688686102975758 × 6371000     		do = 210.342462629436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59465724-0.59470518) × cos(-0.81115398) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.688662161131689 × 6371000     		du = 210.335150173994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81112096)-sin(-0.81115398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.688686102975758-0.688662161131689)×R²
    abs(0.59470518-0.59465724)×2.39418440698413e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39418440698413e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39418440698413e-05×40589641000000     		ar = 44249.0630492679m²