Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77941 / 57085
↖ ↑ ↗
← N 22.601333°
E 34.071350°		 ← 281.97 m → N 22.601333°
E 34.074097°		 →
↑
281.98 m
↓
↑
281.98 m
↓
N 22.598797°
E 34.071350°		 ← 281.97 m →
79 511 m²		 N 22.598797°
E 34.074097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594646453857422 y=0.435527801513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594646453857422 × 217)
    floor (0.594646453857422 × 131072)
    floor (77941.5)     		tx = 77941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435527801513672 × 217)
    floor (0.435527801513672 × 131072)
    floor (57085.5)     		ty = 57085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77941 / 57085 ti = "17/77941/57085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77941/57085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77941 ÷ 217
    77941 ÷ 131072     		x = 0.594642639160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57085 ÷ 217
    57085 ÷ 131072     		y = 0.435523986816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594642639160156 × 2 - 1) × π
    0.189285278320312 × 3.1415926535     		Λ = 0.59465724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435523986816406 × 2 - 1) × π
    0.128952026367188 × 3.1415926535     		Φ = 0.405114738689095
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59465724} λ = 0.59465724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.405114738689095))-π/2
    2×atan(1.49947453792969)-π/2
    2×0.982632003391266-π/2
    1.96526400678253-1.57079632675     		φ = 0.39446768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59465724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.071350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39446768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.601333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77941 KachelY 57085 0.59465724 0.39446768 34.071350 22.601333
    Oben rechts KachelX + 1 77942 KachelY 57085 0.59470518 0.39446768 34.074097 22.601333
    Unten links KachelX 77941 KachelY + 1 57086 0.59465724 0.39442342 34.071350 22.598797
    Unten rechts KachelX + 1 77942 KachelY + 1 57086 0.59470518 0.39442342 34.074097 22.598797
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39446768-0.39442342) × R
    4.42599999999627e-05 × 6371000     		dl = 281.980459999762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39446768-0.39442342) × R
    4.42599999999627e-05 × 6371000     		dr = 281.980459999762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59465724-0.59470518) × cos(0.39446768) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.923201274676245 × 6371000     		do = 281.969432487403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59465724-0.59470518) × cos(0.39442342) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.923218283633767 × 6371000     		du = 281.974627460841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39446768)-sin(0.39442342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923201274676245-0.923218283633767)×R²
    abs(0.59470518-0.59465724)×1.70089575225463e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.70089575225463e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.70089575225463e-05×40589641000000     		ar = 79510.6027321725m²