Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7794 / 5006
↖ ↑ ↗
← N 57.160078°
W  8.745117°		 ← 1 324.97 m → N 57.160078°
W  8.723144°		 →
↑
1 325.17 m
↓
↑
1 325.17 m
↓
N 57.148161°
W  8.745117°		 ← 1 325.40 m →
1 756 097 m²		 N 57.148161°
W  8.723144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475738525390625 y=0.305572509765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475738525390625 × 214)
    floor (0.475738525390625 × 16384)
    floor (7794.5)     		tx = 7794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305572509765625 × 214)
    floor (0.305572509765625 × 16384)
    floor (5006.5)     		ty = 5006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7794 / 5006 ti = "14/7794/5006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7794/5006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7794 ÷ 214
    7794 ÷ 16384     		x = 0.4757080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5006 ÷ 214
    5006 ÷ 16384     		y = 0.3055419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4757080078125 × 2 - 1) × π
    -0.048583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15263109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3055419921875 × 2 - 1) × π
    0.388916015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.22181569751599
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15263109} λ = -0.15263109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22181569751599))-π/2
    2×atan(3.39334342872447)-π/2
    2×1.2842139466197-π/2
    2.5684278932394-1.57079632675     		φ = 0.99763157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15263109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.745117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99763157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.160078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7794 KachelY 5006 -0.15263109 0.99763157 -8.745117 57.160078
    Oben rechts KachelX + 1 7795 KachelY 5006 -0.15224759 0.99763157 -8.723144 57.160078
    Unten links KachelX 7794 KachelY + 1 5007 -0.15263109 0.99742357 -8.745117 57.148161
    Unten rechts KachelX + 1 7795 KachelY + 1 5007 -0.15224759 0.99742357 -8.723144 57.148161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99763157-0.99742357) × R
    0.000207999999999986 × 6371000     		dl = 1325.16799999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99763157-0.99742357) × R
    0.000207999999999986 × 6371000     		dr = 1325.16799999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15263109--0.15224759) × cos(0.99763157) × R
    0.000383500000000009 × 0.542293753727888 × 6371000     		do = 1324.97466916767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15263109--0.15224759) × cos(0.99742357) × R
    0.000383500000000009 × 0.542468501298934 × 6371000     		du = 1325.40162615094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99763157)-sin(0.99742357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.542293753727888-0.542468501298934)×R²
    abs(-0.15224759--0.15263109)×0.000174747571046296×R²
    0.000383500000000009×0.000174747571046296×6371000²
    0.000383500000000009×0.000174747571046296×40589641000000     		ar = 1756096.93358762m²