Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7794 / 10718
↖ ↑ ↗
← N 76.229523°
W137.186279°		 ← 145.39 m → N 76.229523°
W137.180786°		 →
↑
145.39 m
↓
↑
145.39 m
↓
N 76.228215°
W137.186279°		 ← 145.40 m →
21 138 m²		 N 76.228215°
W137.180786°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.118934631347656 y=0.163551330566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.118934631347656 × 216)
    floor (0.118934631347656 × 65536)
    floor (7794.5)     		tx = 7794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163551330566406 × 216)
    floor (0.163551330566406 × 65536)
    floor (10718.5)     		ty = 10718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7794 / 10718 ti = "16/7794/10718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7794/10718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7794 ÷ 216
    7794 ÷ 65536     		x = 0.118927001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10718 ÷ 216
    10718 ÷ 65536     		y = 0.163543701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.118927001953125 × 2 - 1) × π
    -0.76214599609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.39435226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163543701171875 × 2 - 1) × π
    0.67291259765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.11401727324448
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39435226} λ = -2.39435226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11401727324448))-π/2
    2×atan(8.28144336992524)-π/2
    2×1.45062624307369-π/2
    2.90125248614738-1.57079632675     		φ = 1.33045616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39435226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.186279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33045616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.229523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7794 KachelY 10718 -2.39435226 1.33045616 -137.186279 76.229523
    Oben rechts KachelX + 1 7795 KachelY 10718 -2.39425639 1.33045616 -137.180786 76.229523
    Unten links KachelX 7794 KachelY + 1 10719 -2.39435226 1.33043334 -137.186279 76.228215
    Unten rechts KachelX + 1 7795 KachelY + 1 10719 -2.39425639 1.33043334 -137.180786 76.228215
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33045616-1.33043334) × R
    2.282000000009e-05 × 6371000     		dl = 145.386220000573m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33045616-1.33043334) × R
    2.282000000009e-05 × 6371000     		dr = 145.386220000573m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39435226--2.39425639) × cos(1.33045616) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.238033029593734 × 6371000     		do = 145.387663331898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39435226--2.39425639) × cos(1.33043334) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.238055193617866 × 6371000     		du = 145.401200846771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33045616)-sin(1.33043334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238033029593734-0.238055193617866)×R²
    abs(-2.39425639--2.39435226)×2.21640241318544e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.21640241318544e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.21640241318544e-05×40589641000000     		ar = 21138.3468914044m²