Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77931 / 84732
↖ ↑ ↗
← S 46.551305°
E 34.043884°		 ← 210.04 m → S 46.551305°
E 34.046631°		 →
↑
210.05 m
↓
↑
210.05 m
↓
S 46.553194°
E 34.043884°		 ← 210.04 m →
44 119 m²		 S 46.553194°
E 34.046631°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594570159912109 y=0.646457672119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594570159912109 × 217)
    floor (0.594570159912109 × 131072)
    floor (77931.5)     		tx = 77931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646457672119141 × 217)
    floor (0.646457672119141 × 131072)
    floor (84732.5)     		ty = 84732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77931 / 84732 ti = "17/77931/84732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77931/84732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77931 ÷ 217
    77931 ÷ 131072     		x = 0.594566345214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84732 ÷ 217
    84732 ÷ 131072     		y = 0.646453857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594566345214844 × 2 - 1) × π
    0.189132690429688 × 3.1415926535     		Λ = 0.59417787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646453857421875 × 2 - 1) × π
    -0.29290771484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.920196725106598
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59417787} λ = 0.59417787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.920196725106598))-π/2
    2×atan(0.398440650094666)-π/2
    2×0.379161387553068-π/2
    0.758322775106137-1.57079632675     		φ = -0.81247355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59417787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.043884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81247355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.551305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77931 KachelY 84732 0.59417787 -0.81247355 34.043884 -46.551305
    Oben rechts KachelX + 1 77932 KachelY 84732 0.59422581 -0.81247355 34.046631 -46.551305
    Unten links KachelX 77931 KachelY + 1 84733 0.59417787 -0.81250652 34.043884 -46.553194
    Unten rechts KachelX + 1 77932 KachelY + 1 84733 0.59422581 -0.81250652 34.046631 -46.553194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81247355--0.81250652) × R
    3.2970000000021e-05 × 6371000     		dl = 210.051870000134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81247355--0.81250652) × R
    3.2970000000021e-05 × 6371000     		dr = 210.051870000134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59417787-0.59422581) × cos(-0.81247355) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.687704764908881 × 6371000     		do = 210.042736723683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59417787-0.59422581) × cos(-0.81250652) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.687680828629456 × 6371000     		du = 210.035425967827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81247355)-sin(-0.81250652))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687704764908881-0.687680828629456)×R²
    abs(0.59422581-0.59417787)×2.39362794253184e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39362794253184e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39362794253184e-05×40589641000000     		ar = 44119.1018136998m²