Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77931 / 84731
↖ ↑ ↗
← S 46.549416°
E 34.043884°		 ← 210.05 m → S 46.549416°
E 34.046631°		 →
↑
210.05 m
↓
↑
210.05 m
↓
S 46.551305°
E 34.043884°		 ← 210.04 m →
44 121 m²		 S 46.551305°
E 34.046631°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594570159912109 y=0.646450042724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594570159912109 × 217)
    floor (0.594570159912109 × 131072)
    floor (77931.5)     		tx = 77931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646450042724609 × 217)
    floor (0.646450042724609 × 131072)
    floor (84731.5)     		ty = 84731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77931 / 84731 ti = "17/77931/84731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77931/84731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77931 ÷ 217
    77931 ÷ 131072     		x = 0.594566345214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84731 ÷ 217
    84731 ÷ 131072     		y = 0.646446228027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594566345214844 × 2 - 1) × π
    0.189132690429688 × 3.1415926535     		Λ = 0.59417787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646446228027344 × 2 - 1) × π
    -0.292892456054688 × 3.1415926535     		Φ = -0.920148788206978
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59417787} λ = 0.59417787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.920148788206978))-π/2
    2×atan(0.398459750561919)-π/2
    2×0.379177871057003-π/2
    0.758355742114007-1.57079632675     		φ = -0.81244058
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59417787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.043884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81244058 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.549416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77931 KachelY 84731 0.59417787 -0.81244058 34.043884 -46.549416
    Oben rechts KachelX + 1 77932 KachelY 84731 0.59422581 -0.81244058 34.046631 -46.549416
    Unten links KachelX 77931 KachelY + 1 84732 0.59417787 -0.81247355 34.043884 -46.551305
    Unten rechts KachelX + 1 77932 KachelY + 1 84732 0.59422581 -0.81247355 34.046631 -46.551305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81244058--0.81247355) × R
    3.2970000000021e-05 × 6371000     		dl = 210.051870000134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81244058--0.81247355) × R
    3.2970000000021e-05 × 6371000     		dr = 210.051870000134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59417787-0.59422581) × cos(-0.81244058) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.687728700440757 × 6371000     		do = 210.050047251219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59417787-0.59422581) × cos(-0.81247355) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.687704764908881 × 6371000     		du = 210.042736723683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81244058)-sin(-0.81247355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687728700440757-0.687704764908881)×R²
    abs(0.59422581-0.59417787)×2.39355318758516e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39355318758516e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39355318758516e-05×40589641000000     		ar = 44120.6374277245m²