Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77930 / 57083
↖ ↑ ↗
← N 22.606404°
E 34.041137°		 ← 281.96 m → N 22.606404°
E 34.043884°		 →
↑
281.92 m
↓
↑
281.92 m
↓
N 22.603869°
E 34.041137°		 ← 281.96 m →
79 490 m²		 N 22.603869°
E 34.043884°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594562530517578 y=0.435512542724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594562530517578 × 217)
    floor (0.594562530517578 × 131072)
    floor (77930.5)     		tx = 77930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435512542724609 × 217)
    floor (0.435512542724609 × 131072)
    floor (57083.5)     		ty = 57083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77930 / 57083 ti = "17/77930/57083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77930/57083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77930 ÷ 217
    77930 ÷ 131072     		x = 0.594558715820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57083 ÷ 217
    57083 ÷ 131072     		y = 0.435508728027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594558715820312 × 2 - 1) × π
    0.189117431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.59412993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435508728027344 × 2 - 1) × π
    0.128982543945312 × 3.1415926535     		Φ = 0.405210612488335
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59412993} λ = 0.59412993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.405210612488335))-π/2
    2×atan(1.49961830514215)-π/2
    2×0.982676257982737-π/2
    1.96535251596547-1.57079632675     		φ = 0.39455619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59412993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.041137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39455619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.606404°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77930 KachelY 57083 0.59412993 0.39455619 34.041137 22.606404
    Oben rechts KachelX + 1 77931 KachelY 57083 0.59417787 0.39455619 34.043884 22.606404
    Unten links KachelX 77930 KachelY + 1 57084 0.59412993 0.39451194 34.041137 22.603869
    Unten rechts KachelX + 1 77931 KachelY + 1 57084 0.59417787 0.39451194 34.043884 22.603869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39455619-0.39451194) × R
    4.42499999999679e-05 × 6371000     		dl = 281.916749999796m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39455619-0.39451194) × R
    4.42499999999679e-05 × 6371000     		dr = 281.916749999796m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59412993-0.59417787) × cos(0.39455619) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.923167255179709 × 6371000     		do = 281.959042056847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59412993-0.59417787) × cos(0.39451194) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.923184263910219 × 6371000     		du = 281.964236960949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39455619)-sin(0.39451194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923167255179709-0.923184263910219)×R²
    abs(0.59417787-0.59412993)×1.70087305098043e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70087305098043e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70087305098043e-05×40589641000000     		ar = 79489.7090479715m²