Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77920 / 57441
↖ ↑ ↗
← N 21.695713°
E 34.013672°		 ← 283.79 m → N 21.695713°
E 34.016418°		 →
↑
283.76 m
↓
↑
283.76 m
↓
N 21.693161°
E 34.013672°		 ← 283.79 m →
80 530 m²		 N 21.693161°
E 34.016418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594486236572266 y=0.438243865966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594486236572266 × 217)
    floor (0.594486236572266 × 131072)
    floor (77920.5)     		tx = 77920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438243865966797 × 217)
    floor (0.438243865966797 × 131072)
    floor (57441.5)     		ty = 57441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77920 / 57441 ti = "17/77920/57441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77920/57441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77920 ÷ 217
    77920 ÷ 131072     		x = 0.594482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57441 ÷ 217
    57441 ÷ 131072     		y = 0.438240051269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594482421875 × 2 - 1) × π
    0.18896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.59365056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438240051269531 × 2 - 1) × π
    0.123519897460938 × 3.1415926535     		Φ = 0.388049202424355
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59365056} λ = 0.59365056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.388049202424355))-π/2
    2×atan(1.47410231191135)-π/2
    2×0.97472898050525-π/2
    1.9494579610105-1.57079632675     		φ = 0.37866163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59365056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.013672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37866163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.695713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77920 KachelY 57441 0.59365056 0.37866163 34.013672 21.695713
    Oben rechts KachelX + 1 77921 KachelY 57441 0.59369850 0.37866163 34.016418 21.695713
    Unten links KachelX 77920 KachelY + 1 57442 0.59365056 0.37861709 34.013672 21.693161
    Unten rechts KachelX + 1 77921 KachelY + 1 57442 0.59369850 0.37861709 34.016418 21.693161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37866163-0.37861709) × R
    4.45400000000373e-05 × 6371000     		dl = 283.764340000238m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37866163-0.37861709) × R
    4.45400000000373e-05 × 6371000     		dr = 283.764340000238m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59365056-0.59369850) × cos(0.37866163) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.929160232529125 × 6371000     		do = 283.789451598594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59365056-0.59369850) × cos(0.37861709) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.929176697031781 × 6371000     		du = 283.794480281501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37866163)-sin(0.37861709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929160232529125-0.929176697031781)×R²
    abs(0.59369850-0.59365056)×1.64645026555776e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64645026555776e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64645026555776e-05×40589641000000     		ar = 80530.0399255965m²