Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7792 / 5010
↖ ↑ ↗
← N 57.112385°
W  8.789063°		 ← 1 326.68 m → N 57.112385°
W  8.767090°		 →
↑
1 326.89 m
↓
↑
1 326.89 m
↓
N 57.100452°
W  8.789063°		 ← 1 327.11 m →
1 760 643 m²		 N 57.100452°
W  8.767090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475616455078125 y=0.305816650390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475616455078125 × 214)
    floor (0.475616455078125 × 16384)
    floor (7792.5)     		tx = 7792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305816650390625 × 214)
    floor (0.305816650390625 × 16384)
    floor (5010.5)     		ty = 5010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7792 / 5010 ti = "14/7792/5010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7792/5010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7792 ÷ 214
    7792 ÷ 16384     		x = 0.4755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5010 ÷ 214
    5010 ÷ 16384     		y = 0.3057861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4755859375 × 2 - 1) × π
    -0.048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15339808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3057861328125 × 2 - 1) × π
    0.388427734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.22028171672815
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15339808} λ = -0.15339808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22028171672815))-π/2
    2×atan(3.38814209549082)-π/2
    2×1.28379774441553-π/2
    2.56759548883105-1.57079632675     		φ = 0.99679916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15339808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.789063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99679916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.112385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7792 KachelY 5010 -0.15339808 0.99679916 -8.789063 57.112385
    Oben rechts KachelX + 1 7793 KachelY 5010 -0.15301458 0.99679916 -8.767090 57.112385
    Unten links KachelX 7792 KachelY + 1 5011 -0.15339808 0.99659089 -8.789063 57.100452
    Unten rechts KachelX + 1 7793 KachelY + 1 5011 -0.15301458 0.99659089 -8.767090 57.100452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99679916-0.99659089) × R
    0.00020827000000001 × 6371000     		dl = 1326.88817000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99679916-0.99659089) × R
    0.00020827000000001 × 6371000     		dr = 1326.88817000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15339808--0.15301458) × cos(0.99679916) × R
    0.000383499999999981 × 0.542992947458015 × 6371000     		do = 1326.68299417573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15339808--0.15301458) × cos(0.99659089) × R
    0.000383499999999981 × 0.543167827758507 × 6371000     		du = 1327.110275454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99679916)-sin(0.99659089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.542992947458015-0.543167827758507)×R²
    abs(-0.15301458--0.15339808)×0.000174880300492175×R²
    0.000383499999999981×0.000174880300492175×6371000²
    0.000383499999999981×0.000174880300492175×40589641000000     		ar = 1760643.45391351m²