Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7792 / 4241
↖ ↑ ↗
← N 65.210683°
W  8.789063°		 ← 1 024.42 m → N 65.210683°
W  8.767090°		 →
↑
1 024.58 m
↓
↑
1 024.58 m
↓
N 65.201468°
W  8.789063°		 ← 1 024.78 m →
1 049 792 m²		 N 65.201468°
W  8.767090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475616455078125 y=0.258880615234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475616455078125 × 214)
    floor (0.475616455078125 × 16384)
    floor (7792.5)     		tx = 7792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258880615234375 × 214)
    floor (0.258880615234375 × 16384)
    floor (4241.5)     		ty = 4241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7792 / 4241 ti = "14/7792/4241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7792/4241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7792 ÷ 214
    7792 ÷ 16384     		x = 0.4755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4241 ÷ 214
    4241 ÷ 16384     		y = 0.25885009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4755859375 × 2 - 1) × π
    -0.048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15339808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25885009765625 × 2 - 1) × π
    0.4822998046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.51518952319073
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15339808} λ = -0.15339808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51518952319073))-π/2
    2×atan(4.55028342936418)-π/2
    2×1.35446872440206-π/2
    2.70893744880412-1.57079632675     		φ = 1.13814112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15339808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.789063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13814112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.210683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7792 KachelY 4241 -0.15339808 1.13814112 -8.789063 65.210683
    Oben rechts KachelX + 1 7793 KachelY 4241 -0.15301458 1.13814112 -8.767090 65.210683
    Unten links KachelX 7792 KachelY + 1 4242 -0.15339808 1.13798030 -8.789063 65.201468
    Unten rechts KachelX + 1 7793 KachelY + 1 4242 -0.15301458 1.13798030 -8.767090 65.201468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13814112-1.13798030) × R
    0.000160820000000061 × 6371000     		dl = 1024.58422000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13814112-1.13798030) × R
    0.000160820000000061 × 6371000     		dr = 1024.58422000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15339808--0.15301458) × cos(1.13814112) × R
    0.000383499999999981 × 0.419282822133796 × 6371000     		do = 1024.42470473878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15339808--0.15301458) × cos(1.13798030) × R
    0.000383499999999981 × 0.419428818059824 × 6371000     		du = 1024.78141344593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13814112)-sin(1.13798030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419282822133796-0.419428818059824)×R²
    abs(-0.15301458--0.15339808)×0.000145995926028819×R²
    0.000383499999999981×0.000145995926028819×6371000²
    0.000383499999999981×0.000145995926028819×40589641000000     		ar = 1049792.12837304m²