Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7791 / 9388
↖ ↑ ↗
← S 25.403585°
W  8.811035°		 ← 2 206.98 m → S 25.403585°
W  8.789063°		 →
↑
2 206.85 m
↓
↑
2 206.85 m
↓
S 25.423432°
W  8.811035°		 ← 2 206.61 m →
4 870 067 m²		 S 25.423432°
W  8.789063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475555419921875 y=0.573028564453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475555419921875 × 214)
    floor (0.475555419921875 × 16384)
    floor (7791.5)     		tx = 7791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573028564453125 × 214)
    floor (0.573028564453125 × 16384)
    floor (9388.5)     		ty = 9388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7791 / 9388 ti = "14/7791/9388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7791/9388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7791 ÷ 214
    7791 ÷ 16384     		x = 0.47552490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9388 ÷ 214
    9388 ÷ 16384     		y = 0.572998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47552490234375 × 2 - 1) × π
    -0.0489501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15378157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.572998046875 × 2 - 1) × π
    -0.14599609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.458660255564697
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15378157} λ = -0.15378157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.458660255564697))-π/2
    2×atan(0.632129971061477)-π/2
    2×0.563710063607238-π/2
    1.12742012721448-1.57079632675     		φ = -0.44337620
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15378157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.811035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44337620 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.403585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7791 KachelY 9388 -0.15378157 -0.44337620 -8.811035 -25.403585
    Oben rechts KachelX + 1 7792 KachelY 9388 -0.15339808 -0.44337620 -8.789063 -25.403585
    Unten links KachelX 7791 KachelY + 1 9389 -0.15378157 -0.44372259 -8.811035 -25.423432
    Unten rechts KachelX + 1 7792 KachelY + 1 9389 -0.15339808 -0.44372259 -8.789063 -25.423432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44337620--0.44372259) × R
    0.000346389999999974 × 6371000     		dl = 2206.85068999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44337620--0.44372259) × R
    0.000346389999999974 × 6371000     		dr = 2206.85068999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15378157--0.15339808) × cos(-0.44337620) × R
    0.000383490000000014 × 0.903308452626554 × 6371000     		do = 2206.97657138929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15378157--0.15339808) × cos(-0.44372259) × R
    0.000383490000000014 × 0.903159800018213 × 6371000     		du = 2206.61338113802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44337620)-sin(-0.44372259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903308452626554-0.903159800018213)×R²
    abs(-0.15339808--0.15378157)×0.00014865260834096×R²
    0.000383490000000014×0.00014865260834096×6371000²
    0.000383490000000014×0.00014865260834096×40589641000000     		ar = 4870067.06475057m²