Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7791 / 5008
↖ ↑ ↗
← N 57.136239°
W  8.811035°		 ← 1 325.79 m → N 57.136239°
W  8.789063°		 →
↑
1 326.06 m
↓
↑
1 326.06 m
↓
N 57.124314°
W  8.811035°		 ← 1 326.22 m →
1 758 366 m²		 N 57.124314°
W  8.789063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475555419921875 y=0.305694580078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475555419921875 × 214)
    floor (0.475555419921875 × 16384)
    floor (7791.5)     		tx = 7791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305694580078125 × 214)
    floor (0.305694580078125 × 16384)
    floor (5008.5)     		ty = 5008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7791 / 5008 ti = "14/7791/5008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7791/5008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7791 ÷ 214
    7791 ÷ 16384     		x = 0.47552490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5008 ÷ 214
    5008 ÷ 16384     		y = 0.3056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47552490234375 × 2 - 1) × π
    -0.0489501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15378157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3056640625 × 2 - 1) × π
    0.388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.22104870712207
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15378157} λ = -0.15378157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22104870712207))-π/2
    2×atan(3.39074176476454)-π/2
    2×1.28400591255152-π/2
    2.56801182510305-1.57079632675     		φ = 0.99721550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15378157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.811035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99721550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.136239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7791 KachelY 5008 -0.15378157 0.99721550 -8.811035 57.136239
    Oben rechts KachelX + 1 7792 KachelY 5008 -0.15339808 0.99721550 -8.789063 57.136239
    Unten links KachelX 7791 KachelY + 1 5009 -0.15378157 0.99700736 -8.811035 57.124314
    Unten rechts KachelX + 1 7792 KachelY + 1 5009 -0.15339808 0.99700736 -8.789063 57.124314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99721550-0.99700736) × R
    0.000208140000000023 × 6371000     		dl = 1326.05994000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99721550-0.99700736) × R
    0.000208140000000023 × 6371000     		dr = 1326.05994000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15378157--0.15339808) × cos(0.99721550) × R
    0.000383490000000014 × 0.542643284198053 × 6371000     		do = 1325.7940976469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15378157--0.15339808) × cos(0.99700736) × R
    0.000383490000000014 × 0.542818102393969 × 6371000     		du = 1326.22121604873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99721550)-sin(0.99700736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.542643284198053-0.542818102393969)×R²
    abs(-0.15339808--0.15378157)×0.00017481819591636×R²
    0.000383490000000014×0.00017481819591636×6371000²
    0.000383490000000014×0.00017481819591636×40589641000000     		ar = 1758365.64022819m²