Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77909 / 57907
↖ ↑ ↗
← N 20.501637°
E 33.983460°		 ← 286.08 m → N 20.501637°
E 33.986206°		 →
↑
286.06 m
↓
↑
286.06 m
↓
N 20.499065°
E 33.983460°		 ← 286.09 m →
81 836 m²		 N 20.499065°
E 33.986206°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594402313232422 y=0.441799163818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594402313232422 × 217)
    floor (0.594402313232422 × 131072)
    floor (77909.5)     		tx = 77909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441799163818359 × 217)
    floor (0.441799163818359 × 131072)
    floor (57907.5)     		ty = 57907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77909 / 57907 ti = "17/77909/57907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77909/57907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77909 ÷ 217
    77909 ÷ 131072     		x = 0.594398498535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57907 ÷ 217
    57907 ÷ 131072     		y = 0.441795349121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594398498535156 × 2 - 1) × π
    0.188796997070312 × 3.1415926535     		Λ = 0.59312326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441795349121094 × 2 - 1) × π
    0.116409301757812 × 3.1415926535     		Φ = 0.365710607201408
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59312326} λ = 0.59312326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.365710607201408))-π/2
    2×atan(1.44153801156615)-π/2
    2×0.964308696583308-π/2
    1.92861739316662-1.57079632675     		φ = 0.35782107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59312326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.983460°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35782107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.501637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77909 KachelY 57907 0.59312326 0.35782107 33.983460 20.501637
    Oben rechts KachelX + 1 77910 KachelY 57907 0.59317120 0.35782107 33.986206 20.501637
    Unten links KachelX 77909 KachelY + 1 57908 0.59312326 0.35777617 33.983460 20.499065
    Unten rechts KachelX + 1 77910 KachelY + 1 57908 0.59317120 0.35777617 33.986206 20.499065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35782107-0.35777617) × R
    4.49000000000144e-05 × 6371000     		dl = 286.057900000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35782107-0.35777617) × R
    4.49000000000144e-05 × 6371000     		dr = 286.057900000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59312326-0.59317120) × cos(0.35782107) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.93666218227105 × 6371000     		do = 286.080740149963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59312326-0.59317120) × cos(0.35777617) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.936677906839994 × 6371000     		du = 286.085542838069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35782107)-sin(0.35777617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93666218227105-0.936677906839994)×R²
    abs(0.59317120-0.59312326)×1.57245689437202e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57245689437202e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57245689437202e-05×40589641000000     		ar = 81836.3426950253m²