Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7790 / 9509
↖ ↑ ↗
← S 27.780771°
W  8.833008°		 ← 2 161.66 m → S 27.780771°
W  8.811035°		 →
↑
2 161.49 m
↓
↑
2 161.49 m
↓
S 27.800210°
W  8.833008°		 ← 2 161.27 m →
4 671 987 m²		 S 27.800210°
W  8.811035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475494384765625 y=0.580413818359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475494384765625 × 214)
    floor (0.475494384765625 × 16384)
    floor (7790.5)     		tx = 7790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580413818359375 × 214)
    floor (0.580413818359375 × 16384)
    floor (9509.5)     		ty = 9509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7790 / 9509 ti = "14/7790/9509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7790/9509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7790 ÷ 214
    7790 ÷ 16384     		x = 0.4754638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9509 ÷ 214
    9509 ÷ 16384     		y = 0.58038330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4754638671875 × 2 - 1) × π
    -0.049072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15416507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58038330078125 × 2 - 1) × π
    -0.1607666015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.505063174396912
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15416507} λ = -0.15416507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.505063174396912))-π/2
    2×atan(0.603467450530552)-π/2
    2×0.542965196443283-π/2
    1.08593039288657-1.57079632675     		φ = -0.48486593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15416507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.833008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48486593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.780771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7790 KachelY 9509 -0.15416507 -0.48486593 -8.833008 -27.780771
    Oben rechts KachelX + 1 7791 KachelY 9509 -0.15378157 -0.48486593 -8.811035 -27.780771
    Unten links KachelX 7790 KachelY + 1 9510 -0.15416507 -0.48520520 -8.833008 -27.800210
    Unten rechts KachelX + 1 7791 KachelY + 1 9510 -0.15378157 -0.48520520 -8.811035 -27.800210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48486593--0.48520520) × R
    0.000339270000000003 × 6371000     		dl = 2161.48917000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48486593--0.48520520) × R
    0.000339270000000003 × 6371000     		dr = 2161.48917000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15416507--0.15378157) × cos(-0.48486593) × R
    0.000383499999999981 × 0.88473744571218 × 6371000     		do = 2161.65997925338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15416507--0.15378157) × cos(-0.48520520) × R
    0.000383499999999981 × 0.884579264528319 × 6371000     		du = 2161.27349856775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48486593)-sin(-0.48520520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88473744571218-0.884579264528319)×R²
    abs(-0.15378157--0.15416507)×0.000158181183861128×R²
    0.000383499999999981×0.000158181183861128×6371000²
    0.000383499999999981×0.000158181183861128×40589641000000     		ar = 4671986.99228443m²