Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7790 / 9500
↖ ↑ ↗
← S 27.605671°
W  8.833008°		 ← 2 165.13 m → S 27.605671°
W  8.811035°		 →
↑
2 164.93 m
↓
↑
2 164.93 m
↓
S 27.625141°
W  8.833008°		 ← 2 164.75 m →
4 686 938 m²		 S 27.625141°
W  8.811035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475494384765625 y=0.579864501953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475494384765625 × 214)
    floor (0.475494384765625 × 16384)
    floor (7790.5)     		tx = 7790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579864501953125 × 214)
    floor (0.579864501953125 × 16384)
    floor (9500.5)     		ty = 9500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7790 / 9500 ti = "14/7790/9500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7790/9500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7790 ÷ 214
    7790 ÷ 16384     		x = 0.4754638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9500 ÷ 214
    9500 ÷ 16384     		y = 0.579833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4754638671875 × 2 - 1) × π
    -0.049072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15416507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579833984375 × 2 - 1) × π
    -0.15966796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.501611717624268
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15416507} λ = -0.15416507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.501611717624268))-π/2
    2×atan(0.605553890907905)-π/2
    2×0.544493239332018-π/2
    1.08898647866404-1.57079632675     		φ = -0.48180985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15416507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.833008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48180985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.605671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7790 KachelY 9500 -0.15416507 -0.48180985 -8.833008 -27.605671
    Oben rechts KachelX + 1 7791 KachelY 9500 -0.15378157 -0.48180985 -8.811035 -27.605671
    Unten links KachelX 7790 KachelY + 1 9501 -0.15416507 -0.48214966 -8.833008 -27.625141
    Unten rechts KachelX + 1 7791 KachelY + 1 9501 -0.15378157 -0.48214966 -8.811035 -27.625141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48180985--0.48214966) × R
    0.000339809999999996 × 6371000     		dl = 2164.92950999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48180985--0.48214966) × R
    0.000339809999999996 × 6371000     		dr = 2164.92950999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15416507--0.15378157) × cos(-0.48180985) × R
    0.000383499999999981 × 0.886157719493861 × 6371000     		do = 2165.13010364828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15416507--0.15378157) × cos(-0.48214966) × R
    0.000383499999999981 × 0.886000205903432 × 6371000     		du = 2164.74525407932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48180985)-sin(-0.48214966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886157719493861-0.886000205903432)×R²
    abs(-0.15378157--0.15416507)×0.00015751359042937×R²
    0.000383499999999981×0.00015751359042937×6371000²
    0.000383499999999981×0.00015751359042937×40589641000000     		ar = 4686937.51338374m²