Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 779 / 907
↖ ↑ ↗
← N 20.138470°
W 43.066406°		 ← 18.351 km → N 20.138470°
W 42.890625°		 →
↑
18.361 km
↓
↑
18.361 km
↓
N 19.973349°
W 43.066406°		 ← 18.370 km →
337.115 km²		 N 19.973349°
W 42.890625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380615234375 y=0.443115234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380615234375 × 211)
    floor (0.380615234375 × 2048)
    floor (779.5)     		tx = 779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443115234375 × 211)
    floor (0.443115234375 × 2048)
    floor (907.5)     		ty = 907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 779 / 907 ti = "11/779/907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/779/907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 779 ÷ 211
    779 ÷ 2048     		x = 0.38037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 907 ÷ 211
    907 ÷ 2048     		y = 0.44287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38037109375 × 2 - 1) × π
    -0.2392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75165059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44287109375 × 2 - 1) × π
    0.1142578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.35895150435498
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75165059} λ = -0.75165059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.35895150435498))-π/2
    2×atan(1.43182736249643)-π/2
    2×0.961139470026334-π/2
    1.92227894005267-1.57079632675     		φ = 0.35148261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75165059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.066406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35148261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.138470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 779 KachelY 907 -0.75165059 0.35148261 -43.066406 20.138470
    Oben rechts KachelX + 1 780 KachelY 907 -0.74858262 0.35148261 -42.890625 20.138470
    Unten links KachelX 779 KachelY + 1 908 -0.75165059 0.34860070 -43.066406 19.973349
    Unten rechts KachelX + 1 780 KachelY + 1 908 -0.74858262 0.34860070 -42.890625 19.973349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35148261-0.34860070) × R
    0.00288190999999999 × 6371000     		dl = 18360.6486099999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35148261-0.34860070) × R
    0.00288190999999999 × 6371000     		dr = 18360.6486099999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75165059--0.74858262) × cos(0.35148261) × R
    0.00306797000000003 × 0.938863296882702 × 6371000     		do = 18351.0566167592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75165059--0.74858262) × cos(0.34860070) × R
    0.00306797000000003 × 0.939851609928014 × 6371000     		du = 18370.374219982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35148261)-sin(0.34860070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938863296882702-0.939851609928014)×R²
    abs(-0.74858262--0.75165059)×0.000988313045312328×R²
    0.00306797000000003×0.000988313045312328×6371000²
    0.00306797000000003×0.000988313045312328×40589641000000     		ar = 337114877.347918m²