Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77898 / 57034
↖ ↑ ↗
← N 22.730590°
E 33.953247°		 ← 281.70 m → N 22.730590°
E 33.955994°		 →
↑
281.66 m
↓
↑
281.66 m
↓
N 22.728057°
E 33.953247°		 ← 281.71 m →
79 346 m²		 N 22.728057°
E 33.955994°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57034 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594318389892578 y=0.435138702392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594318389892578 × 217)
    floor (0.594318389892578 × 131072)
    floor (77898.5)     		tx = 77898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435138702392578 × 217)
    floor (0.435138702392578 × 131072)
    floor (57034.5)     		ty = 57034
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77898 / 57034 ti = "17/77898/57034"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77898/57034.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77898 ÷ 217
    77898 ÷ 131072     		x = 0.594314575195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57034 ÷ 217
    57034 ÷ 131072     		y = 0.435134887695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594314575195312 × 2 - 1) × π
    0.188629150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.59259595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435134887695312 × 2 - 1) × π
    0.129730224609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.407559520569717
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59259595} λ = 0.59259595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.407559520569717))-π/2
    2×atan(1.50314491091302)-π/2
    2×0.983759985315659-π/2
    1.96751997063132-1.57079632675     		φ = 0.39672364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59259595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.953247°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39672364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.730590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77898 KachelY 57034 0.59259595 0.39672364 33.953247 22.730590
    Oben rechts KachelX + 1 77899 KachelY 57034 0.59264389 0.39672364 33.955994 22.730590
    Unten links KachelX 77898 KachelY + 1 57035 0.59259595 0.39667943 33.953247 22.728057
    Unten rechts KachelX + 1 77899 KachelY + 1 57035 0.59264389 0.39667943 33.955994 22.728057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39672364-0.39667943) × R
    4.4209999999989e-05 × 6371000     		dl = 281.66190999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39672364-0.39667943) × R
    4.4209999999989e-05 × 6371000     		dr = 281.66190999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59259595-0.59264389) × cos(0.39672364) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.922331922823992 × 6371000     		do = 281.703910053956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59259595-0.59264389) × cos(0.39667943) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.922349004601647 × 6371000     		du = 281.709127268537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39672364)-sin(0.39667943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.922331922823992-0.922349004601647)×R²
    abs(0.59264389-0.59259595)×1.70817776545817e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70817776545817e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70817776545817e-05×40589641000000     		ar = 79345.9961183888m²