Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77894 / 59114
↖ ↑ ↗
← N 17.366367°
E 33.942261°		 ← 291.44 m → N 17.366367°
E 33.945007°		 →
↑
291.47 m
↓
↑
291.47 m
↓
N 17.363746°
E 33.942261°		 ← 291.45 m →
84 948 m²		 N 17.363746°
E 33.945007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77894 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594287872314453 y=0.451007843017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594287872314453 × 217)
    floor (0.594287872314453 × 131072)
    floor (77894.5)     		tx = 77894
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451007843017578 × 217)
    floor (0.451007843017578 × 131072)
    floor (59114.5)     		ty = 59114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77894 / 59114 ti = "17/77894/59114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77894/59114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77894 ÷ 217
    77894 ÷ 131072     		x = 0.594284057617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59114 ÷ 217
    59114 ÷ 131072     		y = 0.451004028320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594284057617188 × 2 - 1) × π
    0.188568115234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.59240421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451004028320312 × 2 - 1) × π
    0.097991943359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.307850769360001
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59240421} λ = 0.59240421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.307850769360001))-π/2
    2×atan(1.36049794580823)-π/2
    2×0.936948307964805-π/2
    1.87389661592961-1.57079632675     		φ = 0.30310029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59240421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.942261°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30310029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.366367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77894 KachelY 59114 0.59240421 0.30310029 33.942261 17.366367
    Oben rechts KachelX + 1 77895 KachelY 59114 0.59245214 0.30310029 33.945007 17.366367
    Unten links KachelX 77894 KachelY + 1 59115 0.59240421 0.30305454 33.942261 17.363746
    Unten rechts KachelX + 1 77895 KachelY + 1 59115 0.59245214 0.30305454 33.945007 17.363746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30310029-0.30305454) × R
    4.57500000000111e-05 × 6371000     		dl = 291.47325000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30310029-0.30305454) × R
    4.57500000000111e-05 × 6371000     		dr = 291.47325000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59240421-0.59245214) × cos(0.30310029) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.954415701004774 × 6371000     		do = 291.442315922869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59240421-0.59245214) × cos(0.30305454) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.954429355493477 × 6371000     		du = 291.446485485258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30310029)-sin(0.30305454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954415701004774-0.954429355493477)×R²
    abs(0.59245214-0.59240421)×1.36544887037182e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.36544887037182e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.36544887037182e-05×40589641000000     		ar = 84948.2466823598m²