Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77893 / 59097
↖ ↑ ↗
← N 17.410925°
E 33.939514°		 ← 291.43 m → N 17.410925°
E 33.942261°		 →
↑
291.41 m
↓
↑
291.41 m
↓
N 17.408304°
E 33.939514°		 ← 291.44 m →
84 927 m²		 N 17.408304°
E 33.942261°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77893 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594280242919922 y=0.450878143310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594280242919922 × 217)
    floor (0.594280242919922 × 131072)
    floor (77893.5)     		tx = 77893
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450878143310547 × 217)
    floor (0.450878143310547 × 131072)
    floor (59097.5)     		ty = 59097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77893 / 59097 ti = "17/77893/59097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77893/59097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77893 ÷ 217
    77893 ÷ 131072     		x = 0.594276428222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59097 ÷ 217
    59097 ÷ 131072     		y = 0.450874328613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594276428222656 × 2 - 1) × π
    0.188552856445312 × 3.1415926535     		Λ = 0.59235627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450874328613281 × 2 - 1) × π
    0.0982513427734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.308665696653542
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59235627} λ = 0.59235627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.308665696653542))-π/2
    2×atan(1.36160710459758)-π/2
    2×0.93733715033485-π/2
    1.8746743006697-1.57079632675     		φ = 0.30387797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59235627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.939514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30387797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.410925°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77893 KachelY 59097 0.59235627 0.30387797 33.939514 17.410925
    Oben rechts KachelX + 1 77894 KachelY 59097 0.59240421 0.30387797 33.942261 17.410925
    Unten links KachelX 77893 KachelY + 1 59098 0.59235627 0.30383223 33.939514 17.408304
    Unten rechts KachelX + 1 77894 KachelY + 1 59098 0.59240421 0.30383223 33.942261 17.408304
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30387797-0.30383223) × R
    4.57400000000163e-05 × 6371000     		dl = 291.409540000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30387797-0.30383223) × R
    4.57400000000163e-05 × 6371000     		dr = 291.409540000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59235627-0.59240421) × cos(0.30387797) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.954183290025032 × 6371000     		do = 291.432137451339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59235627-0.59240421) × cos(0.30383223) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.954196975475077 × 6371000     		du = 291.436317340046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30387797)-sin(0.30383223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954183290025032-0.954196975475077)×R²
    abs(0.59240421-0.59235627)×1.3685450045875e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.3685450045875e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.3685450045875e-05×40589641000000     		ar = 84926.7141604645m²