Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77892 / 57460
↖ ↑ ↗
← N 21.647217°
E 33.936767°		 ← 283.88 m → N 21.647217°
E 33.939514°		 →
↑
283.83 m
↓
↑
283.83 m
↓
N 21.644664°
E 33.936767°		 ← 283.89 m →
80 575 m²		 N 21.644664°
E 33.939514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594272613525391 y=0.438388824462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594272613525391 × 217)
    floor (0.594272613525391 × 131072)
    floor (77892.5)     		tx = 77892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438388824462891 × 217)
    floor (0.438388824462891 × 131072)
    floor (57460.5)     		ty = 57460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77892 / 57460 ti = "17/77892/57460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77892/57460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77892 ÷ 217
    77892 ÷ 131072     		x = 0.594268798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57460 ÷ 217
    57460 ÷ 131072     		y = 0.438385009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594268798828125 × 2 - 1) × π
    0.18853759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.59230833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438385009765625 × 2 - 1) × π
    0.12322998046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.387138401331574
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59230833} λ = 0.59230833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.387138401331574))-π/2
    2×atan(1.47276030915635)-π/2
    2×0.974305769234767-π/2
    1.94861153846953-1.57079632675     		φ = 0.37781521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59230833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.936767°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37781521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.647217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77892 KachelY 57460 0.59230833 0.37781521 33.936767 21.647217
    Oben rechts KachelX + 1 77893 KachelY 57460 0.59235627 0.37781521 33.939514 21.647217
    Unten links KachelX 77892 KachelY + 1 57461 0.59230833 0.37777066 33.936767 21.644664
    Unten rechts KachelX + 1 77893 KachelY + 1 57461 0.59235627 0.37777066 33.939514 21.644664
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37781521-0.37777066) × R
    4.45500000000321e-05 × 6371000     		dl = 283.828050000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37781521-0.37777066) × R
    4.45500000000321e-05 × 6371000     		dr = 283.828050000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59230833-0.59235627) × cos(0.37781521) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.929472801864197 × 6371000     		do = 283.88491831906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59230833-0.59235627) × cos(0.37777066) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.929489235020221 × 6371000     		du = 283.889937427899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37781521)-sin(0.37777066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929472801864197-0.929489235020221)×R²
    abs(0.59235627-0.59230833)×1.6433156024398e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6433156024398e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6433156024398e-05×40589641000000     		ar = 80575.2150862585m²