Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7789 / 9515
↖ ↑ ↗
← S 27.897349°
W  8.854980°		 ← 2 159.28 m → S 27.897349°
W  8.833008°		 →
↑
2 159.07 m
↓
↑
2 159.07 m
↓
S 27.916766°
W  8.854980°		 ← 2 158.89 m →
4 661 619 m²		 S 27.916766°
W  8.833008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475433349609375 y=0.580780029296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475433349609375 × 214)
    floor (0.475433349609375 × 16384)
    floor (7789.5)     		tx = 7789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580780029296875 × 214)
    floor (0.580780029296875 × 16384)
    floor (9515.5)     		ty = 9515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7789 / 9515 ti = "14/7789/9515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7789/9515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7789 ÷ 214
    7789 ÷ 16384     		x = 0.47540283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9515 ÷ 214
    9515 ÷ 16384     		y = 0.58074951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47540283203125 × 2 - 1) × π
    -0.0491943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15454856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58074951171875 × 2 - 1) × π
    -0.1614990234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.507364145578674
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15454856} λ = -0.15454856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.507364145578674))-π/2
    2×atan(0.602080485612839)-π/2
    2×0.541947865085509-π/2
    1.08389573017102-1.57079632675     		φ = -0.48690060
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15454856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.854980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48690060 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.897349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7789 KachelY 9515 -0.15454856 -0.48690060 -8.854980 -27.897349
    Oben rechts KachelX + 1 7790 KachelY 9515 -0.15416507 -0.48690060 -8.833008 -27.897349
    Unten links KachelX 7789 KachelY + 1 9516 -0.15454856 -0.48723949 -8.854980 -27.916766
    Unten rechts KachelX + 1 7790 KachelY + 1 9516 -0.15416507 -0.48723949 -8.833008 -27.916766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48690060--0.48723949) × R
    0.000338889999999981 × 6371000     		dl = 2159.06818999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48690060--0.48723949) × R
    0.000338889999999981 × 6371000     		dr = 2159.06818999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15454856--0.15416507) × cos(-0.48690060) × R
    0.000383490000000014 × 0.883787276187528 × 6371000     		do = 2159.28214439526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15454856--0.15416507) × cos(-0.48723949) × R
    0.000383490000000014 × 0.883628662561301 × 6371000     		du = 2158.89461723777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48690060)-sin(-0.48723949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883787276187528-0.883628662561301)×R²
    abs(-0.15416507--0.15454856)×0.000158613626226822×R²
    0.000383490000000014×0.000158613626226822×6371000²
    0.000383490000000014×0.000158613626226822×40589641000000     		ar = 4661619.08703313m²