Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7789 / 9501
↖ ↑ ↗
← S 27.625141°
W  8.854980°		 ← 2 164.69 m → S 27.625141°
W  8.833008°		 →
↑
2 164.48 m
↓
↑
2 164.48 m
↓
S 27.644606°
W  8.854980°		 ← 2 164.30 m →
4 685 017 m²		 S 27.644606°
W  8.833008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475433349609375 y=0.579925537109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475433349609375 × 214)
    floor (0.475433349609375 × 16384)
    floor (7789.5)     		tx = 7789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579925537109375 × 214)
    floor (0.579925537109375 × 16384)
    floor (9501.5)     		ty = 9501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7789 / 9501 ti = "14/7789/9501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7789/9501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7789 ÷ 214
    7789 ÷ 16384     		x = 0.47540283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9501 ÷ 214
    9501 ÷ 16384     		y = 0.57989501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47540283203125 × 2 - 1) × π
    -0.0491943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15454856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57989501953125 × 2 - 1) × π
    -0.1597900390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.501995212821228
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15454856} λ = -0.15454856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.501995212821228))-π/2
    2×atan(0.605321708422521)-π/2
    2×0.544323335817371-π/2
    1.08864667163474-1.57079632675     		φ = -0.48214966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15454856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.854980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48214966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.625141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7789 KachelY 9501 -0.15454856 -0.48214966 -8.854980 -27.625141
    Oben rechts KachelX + 1 7790 KachelY 9501 -0.15416507 -0.48214966 -8.833008 -27.625141
    Unten links KachelX 7789 KachelY + 1 9502 -0.15454856 -0.48248940 -8.854980 -27.644606
    Unten rechts KachelX + 1 7790 KachelY + 1 9502 -0.15416507 -0.48248940 -8.833008 -27.644606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48214966--0.48248940) × R
    0.000339740000000033 × 6371000     		dl = 2164.48354000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48214966--0.48248940) × R
    0.000339740000000033 × 6371000     		dr = 2164.48354000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15454856--0.15416507) × cos(-0.48214966) × R
    0.000383490000000014 × 0.886000205903432 × 6371000     		do = 2164.68880700639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15454856--0.15416507) × cos(-0.48248940) × R
    0.000383490000000014 × 0.885842622484829 × 6371000     		du = 2164.3037968674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48214966)-sin(-0.48248940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886000205903432-0.885842622484829)×R²
    abs(-0.15416507--0.15454856)×0.000157583418602947×R²
    0.000383490000000014×0.000157583418602947×6371000²
    0.000383490000000014×0.000157583418602947×40589641000000     		ar = 4685016.66299694m²