Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77887 / 57025
↖ ↑ ↗
← N 22.753388°
E 33.923035°		 ← 281.60 m → N 22.753388°
E 33.925781°		 →
↑
281.60 m
↓
↑
281.60 m
↓
N 22.750855°
E 33.923035°		 ← 281.60 m →
79 298 m²		 N 22.750855°
E 33.925781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594234466552734 y=0.435070037841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594234466552734 × 217)
    floor (0.594234466552734 × 131072)
    floor (77887.5)     		tx = 77887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435070037841797 × 217)
    floor (0.435070037841797 × 131072)
    floor (57025.5)     		ty = 57025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77887 / 57025 ti = "17/77887/57025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77887/57025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77887 ÷ 217
    77887 ÷ 131072     		x = 0.594230651855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57025 ÷ 217
    57025 ÷ 131072     		y = 0.435066223144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594230651855469 × 2 - 1) × π
    0.188461303710938 × 3.1415926535     		Λ = 0.59206865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435066223144531 × 2 - 1) × π
    0.129867553710938 × 3.1415926535     		Φ = 0.407990952666298
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59206865} λ = 0.59206865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.407990952666298))-π/2
    2×atan(1.50379355578645)-π/2
    2×0.983958930524679-π/2
    1.96791786104936-1.57079632675     		φ = 0.39712153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59206865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.923035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39712153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.753388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77887 KachelY 57025 0.59206865 0.39712153 33.923035 22.753388
    Oben rechts KachelX + 1 77888 KachelY 57025 0.59211658 0.39712153 33.925781 22.753388
    Unten links KachelX 77887 KachelY + 1 57026 0.59206865 0.39707733 33.923035 22.750855
    Unten rechts KachelX + 1 77888 KachelY + 1 57026 0.59211658 0.39707733 33.925781 22.750855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39712153-0.39707733) × R
    4.41999999999942e-05 × 6371000     		dl = 281.598199999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39712153-0.39707733) × R
    4.41999999999942e-05 × 6371000     		dr = 281.598199999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59206865-0.59211658) × cos(0.39712153) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.92217810570671 × 6371000     		do = 281.598178380328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59206865-0.59211658) × cos(0.39707733) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.922195199840395 × 6371000     		du = 281.603398279691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39712153)-sin(0.39707733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92217810570671-0.922195199840395)×R²
    abs(0.59211658-0.59206865)×1.70941336846697e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.70941336846697e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.70941336846697e-05×40589641000000     		ar = 79298.2751251725m²