Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77886 / 57163
↖ ↑ ↗
← N 22.403411°
E 33.920288°		 ← 282.37 m → N 22.403411°
E 33.923035°		 →
↑
282.36 m
↓
↑
282.36 m
↓
N 22.400871°
E 33.920288°		 ← 282.38 m →
79 732 m²		 N 22.400871°
E 33.923035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77886 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594226837158203 y=0.436122894287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594226837158203 × 217)
    floor (0.594226837158203 × 131072)
    floor (77886.5)     		tx = 77886
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436122894287109 × 217)
    floor (0.436122894287109 × 131072)
    floor (57163.5)     		ty = 57163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77886 / 57163 ti = "17/77886/57163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77886/57163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77886 ÷ 217
    77886 ÷ 131072     		x = 0.594223022460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57163 ÷ 217
    57163 ÷ 131072     		y = 0.436119079589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594223022460938 × 2 - 1) × π
    0.188446044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.59202071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436119079589844 × 2 - 1) × π
    0.127761840820312 × 3.1415926535     		Φ = 0.40137566051873
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59202071} λ = 0.59202071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.40137566051873))-π/2
    2×atan(1.49387835422195)-π/2
    2×0.98090480526964-π/2
    1.96180961053928-1.57079632675     		φ = 0.39101328
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59202071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.920288°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39101328 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.403411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77886 KachelY 57163 0.59202071 0.39101328 33.920288 22.403411
    Oben rechts KachelX + 1 77887 KachelY 57163 0.59206865 0.39101328 33.923035 22.403411
    Unten links KachelX 77886 KachelY + 1 57164 0.59202071 0.39096896 33.920288 22.400871
    Unten rechts KachelX + 1 77887 KachelY + 1 57164 0.59206865 0.39096896 33.923035 22.400871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39101328-0.39096896) × R
    4.43200000000421e-05 × 6371000     		dl = 282.362720000268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39101328-0.39096896) × R
    4.43200000000421e-05 × 6371000     		dr = 282.362720000268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59202071-0.59206865) × cos(0.39101328) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.924523347787121 × 6371000     		do = 282.373227644973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59202071-0.59206865) × cos(0.39096896) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.924540238357356 × 6371000     		du = 282.378386459887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39101328)-sin(0.39096896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.924523347787121-0.924540238357356)×R²
    abs(0.59206865-0.59202071)×1.68905702351285e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68905702351285e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68905702351285e-05×40589641000000     		ar = 79732.4009546375m²