Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77885 / 57058
↖ ↑ ↗
← N 22.669779°
E 33.917541°		 ← 281.83 m → N 22.669779°
E 33.920288°		 →
↑
281.85 m
↓
↑
281.85 m
↓
N 22.667244°
E 33.917541°		 ← 281.83 m →
79 435 m²		 N 22.667244°
E 33.920288°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77885 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594219207763672 y=0.435321807861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594219207763672 × 217)
    floor (0.594219207763672 × 131072)
    floor (77885.5)     		tx = 77885
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435321807861328 × 217)
    floor (0.435321807861328 × 131072)
    floor (57058.5)     		ty = 57058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77885 / 57058 ti = "17/77885/57058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77885/57058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77885 ÷ 217
    77885 ÷ 131072     		x = 0.594215393066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57058 ÷ 217
    57058 ÷ 131072     		y = 0.435317993164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594215393066406 × 2 - 1) × π
    0.188430786132812 × 3.1415926535     		Λ = 0.59197277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435317993164062 × 2 - 1) × π
    0.129364013671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.406409034978836
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59197277} λ = 0.59197277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.406409034978836))-π/2
    2×atan(1.50141655876477)-π/2
    2×0.983229302674836-π/2
    1.96645860534967-1.57079632675     		φ = 0.39566228
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59197277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.917541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39566228 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.669779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77885 KachelY 57058 0.59197277 0.39566228 33.917541 22.669779
    Oben rechts KachelX + 1 77886 KachelY 57058 0.59202071 0.39566228 33.920288 22.669779
    Unten links KachelX 77885 KachelY + 1 57059 0.59197277 0.39561804 33.917541 22.667244
    Unten rechts KachelX + 1 77886 KachelY + 1 57059 0.59202071 0.39561804 33.920288 22.667244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39566228-0.39561804) × R
    4.42399999999732e-05 × 6371000     		dl = 281.853039999829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39566228-0.39561804) × R
    4.42399999999732e-05 × 6371000     		dr = 281.853039999829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59197277-0.59202071) × cos(0.39566228) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.922741511194495 × 6371000     		do = 281.829008885112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59197277-0.59202071) × cos(0.39561804) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.922758561245165 × 6371000     		du = 281.834216409455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39566228)-sin(0.39561804))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.922741511194495-0.922758561245165)×R²
    abs(0.59202071-0.59197277)×1.70500506703197e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70500506703197e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70500506703197e-05×40589641000000     		ar = 79435.0968056977m²