Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77884 / 57347
↖ ↑ ↗
← N 21.935403°
E 33.914795°		 ← 283.26 m → N 21.935403°
E 33.917541°		 →
↑
283.32 m
↓
↑
283.32 m
↓
N 21.932855°
E 33.914795°		 ← 283.26 m →
80 252 m²		 N 21.932855°
E 33.917541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594211578369141 y=0.437526702880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594211578369141 × 217)
    floor (0.594211578369141 × 131072)
    floor (77884.5)     		tx = 77884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437526702880859 × 217)
    floor (0.437526702880859 × 131072)
    floor (57347.5)     		ty = 57347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77884 / 57347 ti = "17/77884/57347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77884/57347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77884 ÷ 217
    77884 ÷ 131072     		x = 0.594207763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57347 ÷ 217
    57347 ÷ 131072     		y = 0.437522888183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594207763671875 × 2 - 1) × π
    0.18841552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.59192484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437522888183594 × 2 - 1) × π
    0.124954223632812 × 3.1415926535     		Φ = 0.39255527098864
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59192484} λ = 0.59192484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.39255527098864))-π/2
    2×atan(1.4807597060722)-π/2
    2×0.976820661615188-π/2
    1.95364132323038-1.57079632675     		φ = 0.38284500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59192484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.914795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38284500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.935403°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77884 KachelY 57347 0.59192484 0.38284500 33.914795 21.935403
    Oben rechts KachelX + 1 77885 KachelY 57347 0.59197277 0.38284500 33.917541 21.935403
    Unten links KachelX 77884 KachelY + 1 57348 0.59192484 0.38280053 33.914795 21.932855
    Unten rechts KachelX + 1 77885 KachelY + 1 57348 0.59197277 0.38280053 33.917541 21.932855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38284500-0.38280053) × R
    4.44699999999632e-05 × 6371000     		dl = 283.318369999765m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38284500-0.38280053) × R
    4.44699999999632e-05 × 6371000     		dr = 283.318369999765m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59192484-0.59197277) × cos(0.38284500) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.927605609949738 × 6371000     		do = 283.255532093814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59192484-0.59197277) × cos(0.38280053) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.92762222129089 × 6371000     		du = 283.260604566669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38284500)-sin(0.38280053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927605609949738-0.92762222129089)×R²
    abs(0.59197277-0.59192484)×1.66113411514957e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.66113411514957e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.66113411514957e-05×40589641000000     		ar = 80252.2142218469m²