Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77884 / 57027
↖ ↑ ↗
← N 22.748322°
E 33.914795°		 ← 281.61 m → N 22.748322°
E 33.917541°		 →
↑
281.66 m
↓
↑
281.66 m
↓
N 22.745789°
E 33.914795°		 ← 281.61 m →
79 319 m²		 N 22.745789°
E 33.917541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594211578369141 y=0.435085296630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594211578369141 × 217)
    floor (0.594211578369141 × 131072)
    floor (77884.5)     		tx = 77884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435085296630859 × 217)
    floor (0.435085296630859 × 131072)
    floor (57027.5)     		ty = 57027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77884 / 57027 ti = "17/77884/57027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77884/57027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77884 ÷ 217
    77884 ÷ 131072     		x = 0.594207763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57027 ÷ 217
    57027 ÷ 131072     		y = 0.435081481933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594207763671875 × 2 - 1) × π
    0.18841552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.59192484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435081481933594 × 2 - 1) × π
    0.129837036132812 × 3.1415926535     		Φ = 0.407895078867058
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59192484} λ = 0.59192484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.407895078867058))-π/2
    2×atan(1.50364938829603)-π/2
    2×0.983914723345919-π/2
    1.96782944669184-1.57079632675     		φ = 0.39703312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59192484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.914795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39703312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.748322°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77884 KachelY 57027 0.59192484 0.39703312 33.914795 22.748322
    Oben rechts KachelX + 1 77885 KachelY 57027 0.59197277 0.39703312 33.917541 22.748322
    Unten links KachelX 77884 KachelY + 1 57028 0.59192484 0.39698891 33.914795 22.745789
    Unten rechts KachelX + 1 77885 KachelY + 1 57028 0.59197277 0.39698891 33.917541 22.745789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39703312-0.39698891) × R
    4.42100000000445e-05 × 6371000     		dl = 281.661910000283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39703312-0.39698891) × R
    4.42100000000445e-05 × 6371000     		dr = 281.661910000283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59192484-0.59197277) × cos(0.39703312) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.922212296039282 × 6371000     		do = 281.608618809688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59192484-0.59197277) × cos(0.39698891) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.922229390435682 × 6371000     		du = 281.613838789275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39703312)-sin(0.39698891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.922212296039282-0.922229390435682)×R²
    abs(0.59197277-0.59192484)×1.70943964007408e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.70943964007408e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.70943964007408e-05×40589641000000     		ar = 79319.1565940525m²