Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77883 / 57062
↖ ↑ ↗
← N 22.659641°
E 33.912048°		 ← 281.85 m → N 22.659641°
E 33.914795°		 →
↑
281.85 m
↓
↑
281.85 m
↓
N 22.657106°
E 33.912048°		 ← 281.86 m →
79 441 m²		 N 22.657106°
E 33.914795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594203948974609 y=0.435352325439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594203948974609 × 217)
    floor (0.594203948974609 × 131072)
    floor (77883.5)     		tx = 77883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435352325439453 × 217)
    floor (0.435352325439453 × 131072)
    floor (57062.5)     		ty = 57062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77883 / 57062 ti = "17/77883/57062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77883/57062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77883 ÷ 217
    77883 ÷ 131072     		x = 0.594200134277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57062 ÷ 217
    57062 ÷ 131072     		y = 0.435348510742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594200134277344 × 2 - 1) × π
    0.188400268554688 × 3.1415926535     		Λ = 0.59187690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435348510742188 × 2 - 1) × π
    0.129302978515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.406217287380356
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59187690} λ = 0.59187690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.406217287380356))-π/2
    2×atan(1.50112869334494)-π/2
    2×0.98314083267178-π/2
    1.96628166534356-1.57079632675     		φ = 0.39548534
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59187690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.912048°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39548534 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.659641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77883 KachelY 57062 0.59187690 0.39548534 33.912048 22.659641
    Oben rechts KachelX + 1 77884 KachelY 57062 0.59192484 0.39548534 33.914795 22.659641
    Unten links KachelX 77883 KachelY + 1 57063 0.59187690 0.39544110 33.912048 22.657106
    Unten rechts KachelX + 1 77884 KachelY + 1 57063 0.59192484 0.39544110 33.914795 22.657106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39548534-0.39544110) × R
    4.42400000000287e-05 × 6371000     		dl = 281.853040000183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39548534-0.39544110) × R
    4.42400000000287e-05 × 6371000     		dr = 281.853040000183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59187690-0.59192484) × cos(0.39548534) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.922809692855906 × 6371000     		do = 281.849833319503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59187690-0.59192484) × cos(0.39544110) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.922826735683184 × 6371000     		du = 281.855038637636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39548534)-sin(0.39544110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.922809692855906-0.922826735683184)×R²
    abs(0.59192484-0.59187690)×1.70428272771028e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70428272771028e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70428272771028e-05×40589641000000     		ar = 79440.9659250003m²