Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77881 / 59098
↖ ↑ ↗
← N 17.408304°
E 33.906555°		 ← 291.38 m → N 17.408304°
E 33.909302°		 →
↑
291.41 m
↓
↑
291.41 m
↓
N 17.405684°
E 33.906555°		 ← 291.38 m →
84 910 m²		 N 17.405684°
E 33.909302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594188690185547 y=0.450885772705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594188690185547 × 217)
    floor (0.594188690185547 × 131072)
    floor (77881.5)     		tx = 77881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450885772705078 × 217)
    floor (0.450885772705078 × 131072)
    floor (59098.5)     		ty = 59098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77881 / 59098 ti = "17/77881/59098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77881/59098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77881 ÷ 217
    77881 ÷ 131072     		x = 0.594184875488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59098 ÷ 217
    59098 ÷ 131072     		y = 0.450881958007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594184875488281 × 2 - 1) × π
    0.188369750976562 × 3.1415926535     		Λ = 0.59178103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450881958007812 × 2 - 1) × π
    0.098236083984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.308617759753922
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59178103} λ = 0.59178103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.308617759753922))-π/2
    2×atan(1.36154183493891)-π/2
    2×0.937314279876565-π/2
    1.87462855975313-1.57079632675     		φ = 0.30383223
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59178103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.906555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30383223 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.408304°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77881 KachelY 59098 0.59178103 0.30383223 33.906555 17.408304
    Oben rechts KachelX + 1 77882 KachelY 59098 0.59182896 0.30383223 33.909302 17.408304
    Unten links KachelX 77881 KachelY + 1 59099 0.59178103 0.30378649 33.906555 17.405684
    Unten rechts KachelX + 1 77882 KachelY + 1 59099 0.59182896 0.30378649 33.909302 17.405684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30383223-0.30378649) × R
    4.57399999999608e-05 × 6371000     		dl = 291.40953999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30383223-0.30378649) × R
    4.57399999999608e-05 × 6371000     		dr = 291.40953999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59178103-0.59182896) × cos(0.30383223) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.954196975475077 × 6371000     		do = 291.375525450433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59178103-0.59182896) × cos(0.30378649) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.954210658928802 × 6371000     		du = 291.37970385764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30383223)-sin(0.30378649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954196975475077-0.954210658928802)×R²
    abs(0.59182896-0.59178103)×1.36834537247665e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.36834537247665e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.36834537247665e-05×40589641000000     		ar = 84910.2166673126m²