Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77881 / 57350
↖ ↑ ↗
← N 21.927759°
E 33.906555°		 ← 283.27 m → N 21.927759°
E 33.909302°		 →
↑
283.32 m
↓
↑
283.32 m
↓
N 21.925211°
E 33.906555°		 ← 283.28 m →
80 257 m²		 N 21.925211°
E 33.909302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594188690185547 y=0.437549591064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594188690185547 × 217)
    floor (0.594188690185547 × 131072)
    floor (77881.5)     		tx = 77881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437549591064453 × 217)
    floor (0.437549591064453 × 131072)
    floor (57350.5)     		ty = 57350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77881 / 57350 ti = "17/77881/57350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77881/57350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77881 ÷ 217
    77881 ÷ 131072     		x = 0.594184875488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57350 ÷ 217
    57350 ÷ 131072     		y = 0.437545776367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594184875488281 × 2 - 1) × π
    0.188369750976562 × 3.1415926535     		Λ = 0.59178103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437545776367188 × 2 - 1) × π
    0.124908447265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.39241146028978
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59178103} λ = 0.59178103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.39241146028978))-π/2
    2×atan(1.48054677229547)-π/2
    2×0.976753960018115-π/2
    1.95350792003623-1.57079632675     		φ = 0.38271159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59178103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.906555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38271159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.927759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77881 KachelY 57350 0.59178103 0.38271159 33.906555 21.927759
    Oben rechts KachelX + 1 77882 KachelY 57350 0.59182896 0.38271159 33.909302 21.927759
    Unten links KachelX 77881 KachelY + 1 57351 0.59178103 0.38266712 33.906555 21.925211
    Unten rechts KachelX + 1 77882 KachelY + 1 57351 0.59182896 0.38266712 33.909302 21.925211
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38271159-0.38266712) × R
    4.44699999999632e-05 × 6371000     		dl = 283.318369999765m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38271159-0.38266712) × R
    4.44699999999632e-05 × 6371000     		dr = 283.318369999765m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59178103-0.59182896) × cos(0.38271159) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.927655438469816 × 6371000     		do = 283.2707478312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59178103-0.59182896) × cos(0.38266712) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.927672044307525 × 6371000     		du = 283.275818623513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38271159)-sin(0.38266712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927655438469816-0.927672044307525)×R²
    abs(0.59182896-0.59178103)×1.66058377089051e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.66058377089051e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.66058377089051e-05×40589641000000     		ar = 80256.5248816905m²