Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7788 / 4800
↖ ↑ ↗
← N 59.534318°
W  8.876953°		 ← 1 238.80 m → N 59.534318°
W  8.854980°		 →
↑
1 239.03 m
↓
↑
1 239.03 m
↓
N 59.523175°
W  8.876953°		 ← 1 239.21 m →
1 535 162 m²		 N 59.523175°
W  8.854980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475372314453125 y=0.292999267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475372314453125 × 214)
    floor (0.475372314453125 × 16384)
    floor (7788.5)     		tx = 7788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292999267578125 × 214)
    floor (0.292999267578125 × 16384)
    floor (4800.5)     		ty = 4800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7788 / 4800 ti = "14/7788/4800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7788/4800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7788 ÷ 214
    7788 ÷ 16384     		x = 0.475341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4800 ÷ 214
    4800 ÷ 16384     		y = 0.29296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475341796875 × 2 - 1) × π
    -0.04931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15493206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29296875 × 2 - 1) × π
    0.4140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.30081570808984
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15493206} λ = -0.15493206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30081570808984))-π/2
    2×atan(3.67229096366478)-π/2
    2×1.30493309691225-π/2
    2.60986619382449-1.57079632675     		φ = 1.03906987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15493206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.876953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03906987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.534318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7788 KachelY 4800 -0.15493206 1.03906987 -8.876953 59.534318
    Oben rechts KachelX + 1 7789 KachelY 4800 -0.15454856 1.03906987 -8.854980 59.534318
    Unten links KachelX 7788 KachelY + 1 4801 -0.15493206 1.03887539 -8.876953 59.523175
    Unten rechts KachelX + 1 7789 KachelY + 1 4801 -0.15454856 1.03887539 -8.854980 59.523175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03906987-1.03887539) × R
    0.000194479999999997 × 6371000     		dl = 1239.03207999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03906987-1.03887539) × R
    0.000194479999999997 × 6371000     		dr = 1239.03207999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15493206--0.15454856) × cos(1.03906987) × R
    0.000383500000000009 × 0.507022186184862 × 6371000     		do = 1238.7964065285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15493206--0.15454856) × cos(1.03887539) × R
    0.000383500000000009 × 0.507189805325931 × 6371000     		du = 1239.20594677206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03906987)-sin(1.03887539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.507022186184862-0.507189805325931)×R²
    abs(-0.15454856--0.15493206)×0.000167619141069997×R²
    0.000383500000000009×0.000167619141069997×6371000²
    0.000383500000000009×0.000167619141069997×40589641000000     		ar = 1535162.20986488m²