Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7788 / 1689
↖ ↑ ↗
← N 72.060381°
E162.246094°		 ← 1 505.11 m → N 72.060381°
E162.290039°		 →
↑
1 505.66 m
↓
↑
1 505.66 m
↓
N 72.046840°
E162.246094°		 ← 1 506.21 m →
2 267 010 m²		 N 72.046840°
E162.290039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.95074462890625 y=0.20623779296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.95074462890625 × 213)
    floor (0.95074462890625 × 8192)
    floor (7788.5)     		tx = 7788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.20623779296875 × 213)
    floor (0.20623779296875 × 8192)
    floor (1689.5)     		ty = 1689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7788 / 1689 ti = "13/7788/1689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7788/1689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7788 ÷ 213
    7788 ÷ 8192     		x = 0.95068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1689 ÷ 213
    1689 ÷ 8192     		y = 0.2061767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.95068359375 × 2 - 1) × π
    0.9013671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.83172853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2061767578125 × 2 - 1) × π
    0.587646484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.8461458781676
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.83172853} λ = 2.83172853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8461458781676))-π/2
    2×atan(6.33535517789548)-π/2
    2×1.41424361450221-π/2
    2.82848722900443-1.57079632675     		φ = 1.25769090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.83172853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 162.246094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25769090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.060381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7788 KachelY 1689 2.83172853 1.25769090 162.246094 72.060381
    Oben rechts KachelX + 1 7789 KachelY 1689 2.83249552 1.25769090 162.290039 72.060381
    Unten links KachelX 7788 KachelY + 1 1690 2.83172853 1.25745457 162.246094 72.046840
    Unten rechts KachelX + 1 7789 KachelY + 1 1690 2.83249552 1.25745457 162.290039 72.046840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25769090-1.25745457) × R
    0.000236330000000118 × 6371000     		dl = 1505.65843000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25769090-1.25745457) × R
    0.000236330000000118 × 6371000     		dr = 1505.65843000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.83172853-2.83249552) × cos(1.25769090) × R
    0.000766990000000245 × 0.308014562933598 × 6371000     		do = 1505.11109499779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.83172853-2.83249552) × cos(1.25745457) × R
    0.000766990000000245 × 0.3082393943534 × 6371000     		du = 1506.20973222204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25769090)-sin(1.25745457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.308014562933598-0.3082393943534)×R²
    abs(2.83249552-2.83172853)×0.000224831419802118×R²
    0.000766990000000245×0.000224831419802118×6371000²
    0.000766990000000245×0.000224831419802118×40589641000000     		ar = 2267010.30502234m²