Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77877 / 57411
↖ ↑ ↗
← N 21.772254°
E 33.895569°		 ← 283.64 m → N 21.772254°
E 33.898316°		 →
↑
283.64 m
↓
↑
283.64 m
↓
N 21.769703°
E 33.895569°		 ← 283.64 m →
80 451 m²		 N 21.769703°
E 33.898316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594158172607422 y=0.438014984130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594158172607422 × 217)
    floor (0.594158172607422 × 131072)
    floor (77877.5)     		tx = 77877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438014984130859 × 217)
    floor (0.438014984130859 × 131072)
    floor (57411.5)     		ty = 57411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77877 / 57411 ti = "17/77877/57411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77877/57411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77877 ÷ 217
    77877 ÷ 131072     		x = 0.594154357910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57411 ÷ 217
    57411 ÷ 131072     		y = 0.438011169433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594154357910156 × 2 - 1) × π
    0.188308715820312 × 3.1415926535     		Λ = 0.59158928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438011169433594 × 2 - 1) × π
    0.123977661132812 × 3.1415926535     		Φ = 0.389487309412956
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59158928} λ = 0.59158928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.389487309412956))-π/2
    2×atan(1.47622375381262)-π/2
    2×0.975396918651828-π/2
    1.95079383730366-1.57079632675     		φ = 0.37999751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59158928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.895569°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37999751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.772254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77877 KachelY 57411 0.59158928 0.37999751 33.895569 21.772254
    Oben rechts KachelX + 1 77878 KachelY 57411 0.59163722 0.37999751 33.898316 21.772254
    Unten links KachelX 77877 KachelY + 1 57412 0.59158928 0.37995299 33.895569 21.769703
    Unten rechts KachelX + 1 77878 KachelY + 1 57412 0.59163722 0.37995299 33.898316 21.769703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37999751-0.37995299) × R
    4.45199999999923e-05 × 6371000     		dl = 283.636919999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37999751-0.37995299) × R
    4.45199999999923e-05 × 6371000     		dr = 283.636919999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59158928-0.59163722) × cos(0.37999751) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.9286655591656 × 6371000     		do = 283.638365620481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59158928-0.59163722) × cos(0.37995299) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.928682071521624 × 6371000     		du = 283.643408919039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37999751)-sin(0.37995299))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9286655591656-0.928682071521624)×R²
    abs(0.59163722-0.59158928)×1.65123560240676e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65123560240676e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65123560240676e-05×40589641000000     		ar = 80451.0276644531m²