Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77874 / 57134
↖ ↑ ↗
← N 22.477031°
E 33.887329°		 ← 282.16 m → N 22.477031°
E 33.890075°		 →
↑
282.24 m
↓
↑
282.24 m
↓
N 22.474492°
E 33.887329°		 ← 282.17 m →
79 638 m²		 N 22.474492°
E 33.890075°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77874 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594135284423828 y=0.435901641845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594135284423828 × 217)
    floor (0.594135284423828 × 131072)
    floor (77874.5)     		tx = 77874
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435901641845703 × 217)
    floor (0.435901641845703 × 131072)
    floor (57134.5)     		ty = 57134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77874 / 57134 ti = "17/77874/57134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77874/57134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77874 ÷ 217
    77874 ÷ 131072     		x = 0.594131469726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57134 ÷ 217
    57134 ÷ 131072     		y = 0.435897827148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594131469726562 × 2 - 1) × π
    0.188262939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.59144547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435897827148438 × 2 - 1) × π
    0.128204345703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.402765830607712
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59144547} λ = 0.59144547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.402765830607712))-π/2
    2×atan(1.4959565434101)-π/2
    2×0.981547257234209-π/2
    1.96309451446842-1.57079632675     		φ = 0.39229819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59144547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.887329°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39229819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.477031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77874 KachelY 57134 0.59144547 0.39229819 33.887329 22.477031
    Oben rechts KachelX + 1 77875 KachelY 57134 0.59149340 0.39229819 33.890075 22.477031
    Unten links KachelX 77874 KachelY + 1 57135 0.59144547 0.39225389 33.887329 22.474492
    Unten rechts KachelX + 1 77875 KachelY + 1 57135 0.59149340 0.39225389 33.890075 22.474492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39229819-0.39225389) × R
    4.42999999999971e-05 × 6371000     		dl = 282.235299999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39229819-0.39225389) × R
    4.42999999999971e-05 × 6371000     		dr = 282.235299999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59144547-0.59149340) × cos(0.39229819) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.924032872878194 × 6371000     		do = 282.164553848336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59144547-0.59149340) × cos(0.39225389) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.924049808438537 × 6371000     		du = 282.169725325422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39229819)-sin(0.39225389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.924032872878194-0.924049808438537)×R²
    abs(0.59149340-0.59144547)×1.6935560343101e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.6935560343101e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.6935560343101e-05×40589641000000     		ar = 79637.527304446m²