Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77874 / 56950
↖ ↑ ↗
← N 22.943218°
E 33.887329°		 ← 281.21 m → N 22.943218°
E 33.890075°		 →
↑
281.22 m
↓
↑
281.22 m
↓
N 22.940689°
E 33.887329°		 ← 281.21 m →
79 080 m²		 N 22.940689°
E 33.890075°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77874 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594135284423828 y=0.434497833251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594135284423828 × 217)
    floor (0.594135284423828 × 131072)
    floor (77874.5)     		tx = 77874
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434497833251953 × 217)
    floor (0.434497833251953 × 131072)
    floor (56950.5)     		ty = 56950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77874 / 56950 ti = "17/77874/56950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77874/56950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77874 ÷ 217
    77874 ÷ 131072     		x = 0.594131469726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56950 ÷ 217
    56950 ÷ 131072     		y = 0.434494018554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594131469726562 × 2 - 1) × π
    0.188262939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.59144547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434494018554688 × 2 - 1) × π
    0.131011962890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.411586220137802
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59144547} λ = 0.59144547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.411586220137802))-π/2
    2×atan(1.50920982647814)-π/2
    2×0.985615513933433-π/2
    1.97123102786687-1.57079632675     		φ = 0.40043470
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59144547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.887329°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40043470 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.943218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77874 KachelY 56950 0.59144547 0.40043470 33.887329 22.943218
    Oben rechts KachelX + 1 77875 KachelY 56950 0.59149340 0.40043470 33.890075 22.943218
    Unten links KachelX 77874 KachelY + 1 56951 0.59144547 0.40039056 33.887329 22.940689
    Unten rechts KachelX + 1 77875 KachelY + 1 56951 0.59149340 0.40039056 33.890075 22.940689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40043470-0.40039056) × R
    4.41399999999703e-05 × 6371000     		dl = 281.215939999811m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40043470-0.40039056) × R
    4.41399999999703e-05 × 6371000     		dr = 281.215939999811m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59144547-0.59149340) × cos(0.40043470) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.92089162683109 × 6371000     		do = 281.205336578665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59144547-0.59149340) × cos(0.40039056) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.920908832530988 × 6371000     		du = 281.210590546113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40043470)-sin(0.40039056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92089162683109-0.920908832530988)×R²
    abs(0.59149340-0.59144547)×1.72056998978265e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.72056998978265e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.72056998978265e-05×40589641000000     		ar = 79080.1618215136m²