Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77872 / 57479
↖ ↑ ↗
← N 21.598704°
E 33.881836°		 ← 283.98 m → N 21.598704°
E 33.884582°		 →
↑
283.96 m
↓
↑
283.96 m
↓
N 21.596150°
E 33.881836°		 ← 283.99 m →
80 638 m²		 N 21.596150°
E 33.884582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594120025634766 y=0.438533782958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594120025634766 × 217)
    floor (0.594120025634766 × 131072)
    floor (77872.5)     		tx = 77872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438533782958984 × 217)
    floor (0.438533782958984 × 131072)
    floor (57479.5)     		ty = 57479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77872 / 57479 ti = "17/77872/57479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77872/57479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77872 ÷ 217
    77872 ÷ 131072     		x = 0.5941162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57479 ÷ 217
    57479 ÷ 131072     		y = 0.438529968261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5941162109375 × 2 - 1) × π
    0.188232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.59134959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438529968261719 × 2 - 1) × π
    0.122940063476562 × 3.1415926535     		Φ = 0.386227600238792
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59134959} λ = 0.59134959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.386227600238792))-π/2
    2×atan(1.47141952814246)-π/2
    2×0.973882415747355-π/2
    1.94776483149471-1.57079632675     		φ = 0.37696850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59134959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.881836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37696850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.598704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77872 KachelY 57479 0.59134959 0.37696850 33.881836 21.598704
    Oben rechts KachelX + 1 77873 KachelY 57479 0.59139753 0.37696850 33.884582 21.598704
    Unten links KachelX 77872 KachelY + 1 57480 0.59134959 0.37692393 33.881836 21.596150
    Unten rechts KachelX + 1 77873 KachelY + 1 57480 0.59139753 0.37692393 33.884582 21.596150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37696850-0.37692393) × R
    4.4569999999966e-05 × 6371000     		dl = 283.955469999784m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37696850-0.37692393) × R
    4.4569999999966e-05 × 6371000     		dr = 283.955469999784m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59134959-0.59139753) × cos(0.37696850) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.929784812050129 × 6371000     		do = 283.980214260985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59134959-0.59139753) × cos(0.37692393) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.929801217500619 × 6371000     		du = 283.985224907841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37696850)-sin(0.37692393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929784812050129-0.929801217500619)×R²
    abs(0.59139753-0.59134959)×1.64054504908639e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64054504908639e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64054504908639e-05×40589641000000     		ar = 80638.4466246972m²