Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77872 / 56927
↖ ↑ ↗
← N 23.001380°
E 33.881836°		 ← 281.14 m → N 23.001380°
E 33.884582°		 →
↑
281.15 m
↓
↑
281.15 m
↓
N 22.998851°
E 33.881836°		 ← 281.15 m →
79 045 m²		 N 22.998851°
E 33.884582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594120025634766 y=0.434322357177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594120025634766 × 217)
    floor (0.594120025634766 × 131072)
    floor (77872.5)     		tx = 77872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434322357177734 × 217)
    floor (0.434322357177734 × 131072)
    floor (56927.5)     		ty = 56927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77872 / 56927 ti = "17/77872/56927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77872/56927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77872 ÷ 217
    77872 ÷ 131072     		x = 0.5941162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56927 ÷ 217
    56927 ÷ 131072     		y = 0.434318542480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5941162109375 × 2 - 1) × π
    0.188232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.59134959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434318542480469 × 2 - 1) × π
    0.131362915039062 × 3.1415926535     		Φ = 0.412688768829063
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59134959} λ = 0.59134959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.412688768829063))-π/2
    2×atan(1.51087472144239)-π/2
    2×0.986123068695154-π/2
    1.97224613739031-1.57079632675     		φ = 0.40144981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59134959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.881836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40144981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.001380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77872 KachelY 56927 0.59134959 0.40144981 33.881836 23.001380
    Oben rechts KachelX + 1 77873 KachelY 56927 0.59139753 0.40144981 33.884582 23.001380
    Unten links KachelX 77872 KachelY + 1 56928 0.59134959 0.40140568 33.881836 22.998851
    Unten rechts KachelX + 1 77873 KachelY + 1 56928 0.59139753 0.40140568 33.884582 22.998851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40144981-0.40140568) × R
    4.41300000000311e-05 × 6371000     		dl = 281.152230000198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40144981-0.40140568) × R
    4.41300000000311e-05 × 6371000     		dr = 281.152230000198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59134959-0.59139753) × cos(0.40144981) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.920495443582345 × 6371000     		do = 281.143002022582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59134959-0.59139753) × cos(0.40140568) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.92051268662898 × 6371000     		du = 281.14826849286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40144981)-sin(0.40140568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.920495443582345-0.92051268662898)×R²
    abs(0.59139753-0.59134959)×1.72430466348628e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.72430466348628e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.72430466348628e-05×40589641000000     		ar = 79044.7223203611m²