Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77870 / 57477
↖ ↑ ↗
← N 21.603812°
E 33.876343°		 ← 283.97 m → N 21.603812°
E 33.879090°		 →
↑
283.96 m
↓
↑
283.96 m
↓
N 21.601258°
E 33.876343°		 ← 283.98 m →
80 636 m²		 N 21.601258°
E 33.879090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594104766845703 y=0.438518524169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594104766845703 × 217)
    floor (0.594104766845703 × 131072)
    floor (77870.5)     		tx = 77870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438518524169922 × 217)
    floor (0.438518524169922 × 131072)
    floor (57477.5)     		ty = 57477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77870 / 57477 ti = "17/77870/57477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77870/57477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77870 ÷ 217
    77870 ÷ 131072     		x = 0.594100952148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57477 ÷ 217
    57477 ÷ 131072     		y = 0.438514709472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594100952148438 × 2 - 1) × π
    0.188201904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.59125372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438514709472656 × 2 - 1) × π
    0.122970581054688 × 3.1415926535     		Φ = 0.386323474038033
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59125372} λ = 0.59125372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.386323474038033))-π/2
    2×atan(1.4715606054856)-π/2
    2×0.973926985961937-π/2
    1.94785397192387-1.57079632675     		φ = 0.37705765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59125372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.876343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37705765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.603812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77870 KachelY 57477 0.59125372 0.37705765 33.876343 21.603812
    Oben rechts KachelX + 1 77871 KachelY 57477 0.59130166 0.37705765 33.879090 21.603812
    Unten links KachelX 77870 KachelY + 1 57478 0.59125372 0.37701308 33.876343 21.601258
    Unten rechts KachelX + 1 77871 KachelY + 1 57478 0.59130166 0.37701308 33.879090 21.601258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37705765-0.37701308) × R
    4.45700000000215e-05 × 6371000     		dl = 283.955470000137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37705765-0.37701308) × R
    4.45700000000215e-05 × 6371000     		dr = 283.955470000137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59125372-0.59130166) × cos(0.37705765) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.929751991926305 × 6371000     		do = 283.970190150379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59125372-0.59130166) × cos(0.37701308) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.929768401071184 × 6371000     		du = 283.975201925597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37705765)-sin(0.37701308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929751991926305-0.929768401071184)×R²
    abs(0.59130166-0.59125372)×1.64091448796588e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64091448796588e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64091448796588e-05×40589641000000     		ar = 80635.6003840188m²