Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7787 / 4267
↖ ↑ ↗
← N 64.970064°
W  8.898926°		 ← 1 033.70 m → N 64.970064°
W  8.876953°		 →
↑
1 033.89 m
↓
↑
1 033.89 m
↓
N 64.960766°
W  8.898926°		 ← 1 034.06 m →
1 068 918 m²		 N 64.960766°
W  8.876953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475311279296875 y=0.260467529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475311279296875 × 214)
    floor (0.475311279296875 × 16384)
    floor (7787.5)     		tx = 7787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260467529296875 × 214)
    floor (0.260467529296875 × 16384)
    floor (4267.5)     		ty = 4267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7787 / 4267 ti = "14/7787/4267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7787/4267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7787 ÷ 214
    7787 ÷ 16384     		x = 0.47528076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4267 ÷ 214
    4267 ÷ 16384     		y = 0.26043701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47528076171875 × 2 - 1) × π
    -0.0494384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15531555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26043701171875 × 2 - 1) × π
    0.4791259765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.50521864806976
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15531555} λ = -0.15531555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50521864806976))-π/2
    2×atan(4.5051385624585)-π/2
    2×1.35236893277163-π/2
    2.70473786554326-1.57079632675     		φ = 1.13394154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15531555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.898926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13394154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.970064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7787 KachelY 4267 -0.15531555 1.13394154 -8.898926 64.970064
    Oben rechts KachelX + 1 7788 KachelY 4267 -0.15493206 1.13394154 -8.876953 64.970064
    Unten links KachelX 7787 KachelY + 1 4268 -0.15531555 1.13377926 -8.898926 64.960766
    Unten rechts KachelX + 1 7788 KachelY + 1 4268 -0.15493206 1.13377926 -8.876953 64.960766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13394154-1.13377926) × R
    0.000162279999999848 × 6371000     		dl = 1033.88587999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13394154-1.13377926) × R
    0.000162279999999848 × 6371000     		dr = 1033.88587999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15531555--0.15493206) × cos(1.13394154) × R
    0.000383489999999986 × 0.423091726106352 × 6371000     		do = 1033.70396274963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15531555--0.15493206) × cos(1.13377926) × R
    0.000383489999999986 × 0.423238760309742 × 6371000     		du = 1034.06319888999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13394154)-sin(1.13377926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423091726106352-0.423238760309742)×R²
    abs(-0.15493206--0.15531555)×0.000147034203389851×R²
    0.000383489999999986×0.000147034203389851×6371000²
    0.000383489999999986×0.000147034203389851×40589641000000     		ar = 1068917.63811827m²