Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77865 / 57013
↖ ↑ ↗
← N 22.783778°
E 33.862610°		 ← 281.54 m → N 22.783778°
E 33.865356°		 →
↑
281.60 m
↓
↑
281.60 m
↓
N 22.781246°
E 33.862610°		 ← 281.54 m →
79 281 m²		 N 22.781246°
E 33.865356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77865 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594066619873047 y=0.434978485107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594066619873047 × 217)
    floor (0.594066619873047 × 131072)
    floor (77865.5)     		tx = 77865
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434978485107422 × 217)
    floor (0.434978485107422 × 131072)
    floor (57013.5)     		ty = 57013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77865 / 57013 ti = "17/77865/57013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77865/57013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77865 ÷ 217
    77865 ÷ 131072     		x = 0.594062805175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57013 ÷ 217
    57013 ÷ 131072     		y = 0.434974670410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594062805175781 × 2 - 1) × π
    0.188125610351562 × 3.1415926535     		Λ = 0.59101404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434974670410156 × 2 - 1) × π
    0.130050659179688 × 3.1415926535     		Φ = 0.408566195461739
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59101404} λ = 0.59101404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.408566195461739))-π/2
    2×atan(1.50465885104882)-π/2
    2×0.984224139164036-π/2
    1.96844827832807-1.57079632675     		φ = 0.39765195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59101404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.862610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39765195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.783778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77865 KachelY 57013 0.59101404 0.39765195 33.862610 22.783778
    Oben rechts KachelX + 1 77866 KachelY 57013 0.59106197 0.39765195 33.865356 22.783778
    Unten links KachelX 77865 KachelY + 1 57014 0.59101404 0.39760775 33.862610 22.781246
    Unten rechts KachelX + 1 77866 KachelY + 1 57014 0.59106197 0.39760775 33.865356 22.781246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39765195-0.39760775) × R
    4.41999999999942e-05 × 6371000     		dl = 281.598199999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39765195-0.39760775) × R
    4.41999999999942e-05 × 6371000     		dr = 281.598199999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59101404-0.59106197) × cos(0.39765195) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.921972827841842 × 6371000     		do = 281.535494314798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59101404-0.59106197) × cos(0.39760775) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.921989943593385 × 6371000     		du = 281.540720815434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39765195)-sin(0.39760775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921972827841842-0.921989943593385)×R²
    abs(0.59106197-0.59101404)×1.7115751542951e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.7115751542951e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.7115751542951e-05×40589641000000     		ar = 79280.6243345561m²