Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77864 / 57144
↖ ↑ ↗
← N 22.451649°
E 33.859863°		 ← 282.28 m → N 22.451649°
E 33.862610°		 →
↑
282.24 m
↓
↑
282.24 m
↓
N 22.449110°
E 33.859863°		 ← 282.28 m →
79 669 m²		 N 22.449110°
E 33.862610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594058990478516 y=0.435977935791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594058990478516 × 217)
    floor (0.594058990478516 × 131072)
    floor (77864.5)     		tx = 77864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435977935791016 × 217)
    floor (0.435977935791016 × 131072)
    floor (57144.5)     		ty = 57144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77864 / 57144 ti = "17/77864/57144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77864/57144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77864 ÷ 217
    77864 ÷ 131072     		x = 0.59405517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57144 ÷ 217
    57144 ÷ 131072     		y = 0.43597412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59405517578125 × 2 - 1) × π
    0.1881103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.59096610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43597412109375 × 2 - 1) × π
    0.1280517578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.402286461611511
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59096610} λ = 0.59096610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.402286461611511))-π/2
    2×atan(1.49523960007746)-π/2
    2×0.98132576058976-π/2
    1.96265152117952-1.57079632675     		φ = 0.39185519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59096610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.859863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39185519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.451649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77864 KachelY 57144 0.59096610 0.39185519 33.859863 22.451649
    Oben rechts KachelX + 1 77865 KachelY 57144 0.59101404 0.39185519 33.862610 22.451649
    Unten links KachelX 77864 KachelY + 1 57145 0.59096610 0.39181089 33.859863 22.449110
    Unten rechts KachelX + 1 77865 KachelY + 1 57145 0.59101404 0.39181089 33.862610 22.449110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39185519-0.39181089) × R
    4.42999999999971e-05 × 6371000     		dl = 282.235299999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39185519-0.39181089) × R
    4.42999999999971e-05 × 6371000     		dr = 282.235299999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59096610-0.59101404) × cos(0.39185519) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.924202146872905 × 6371000     		do = 282.275124618061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59096610-0.59101404) × cos(0.39181089) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.924219064297368 × 6371000     		du = 282.280291634946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39185519)-sin(0.39181089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.924202146872905-0.924219064297368)×R²
    abs(0.59101404-0.59096610)×1.691742446297e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.691742446297e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.691742446297e-05×40589641000000     		ar = 79668.7336494096m²