Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77863 / 56967
↖ ↑ ↗
← N 22.900213°
E 33.857117°		 ← 281.35 m → N 22.900213°
E 33.859863°		 →
↑
281.34 m
↓
↑
281.34 m
↓
N 22.897683°
E 33.857117°		 ← 281.36 m →
79 158 m²		 N 22.897683°
E 33.859863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594051361083984 y=0.434627532958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594051361083984 × 217)
    floor (0.594051361083984 × 131072)
    floor (77863.5)     		tx = 77863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434627532958984 × 217)
    floor (0.434627532958984 × 131072)
    floor (56967.5)     		ty = 56967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77863 / 56967 ti = "17/77863/56967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77863/56967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77863 ÷ 217
    77863 ÷ 131072     		x = 0.594047546386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56967 ÷ 217
    56967 ÷ 131072     		y = 0.434623718261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594047546386719 × 2 - 1) × π
    0.188095092773438 × 3.1415926535     		Λ = 0.59091816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434623718261719 × 2 - 1) × π
    0.130752563476562 × 3.1415926535     		Φ = 0.410771292844261
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59091816} λ = 0.59091816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.410771292844261))-π/2
    2×atan(1.50798043120078)-π/2
    2×0.985240224501613-π/2
    1.97048044900323-1.57079632675     		φ = 0.39968412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59091816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.857117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39968412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.900213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77863 KachelY 56967 0.59091816 0.39968412 33.857117 22.900213
    Oben rechts KachelX + 1 77864 KachelY 56967 0.59096610 0.39968412 33.859863 22.900213
    Unten links KachelX 77863 KachelY + 1 56968 0.59091816 0.39963996 33.857117 22.897683
    Unten rechts KachelX + 1 77864 KachelY + 1 56968 0.59096610 0.39963996 33.859863 22.897683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39968412-0.39963996) × R
    4.41599999999598e-05 × 6371000     		dl = 281.343359999744m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39968412-0.39963996) × R
    4.41599999999598e-05 × 6371000     		dr = 281.343359999744m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59091816-0.59096610) × cos(0.39968412) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.921183957514995 × 6371000     		do = 281.353291900613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59091816-0.59096610) × cos(0.39963996) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.921201140481805 × 6371000     		du = 281.358540020966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39968412)-sin(0.39963996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921183957514995-0.921201140481805)×R²
    abs(0.59096610-0.59091816)×1.71829668100809e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.71829668100809e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.71829668100809e-05×40589641000000     		ar = 79157.6187650908m²