Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77862 / 57054
↖ ↑ ↗
← N 22.679916°
E 33.854370°		 ← 281.81 m → N 22.679916°
E 33.857117°		 →
↑
281.79 m
↓
↑
281.79 m
↓
N 22.677382°
E 33.854370°		 ← 281.81 m →
79 411 m²		 N 22.677382°
E 33.857117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77862 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594043731689453 y=0.435291290283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594043731689453 × 217)
    floor (0.594043731689453 × 131072)
    floor (77862.5)     		tx = 77862
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435291290283203 × 217)
    floor (0.435291290283203 × 131072)
    floor (57054.5)     		ty = 57054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77862 / 57054 ti = "17/77862/57054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77862/57054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77862 ÷ 217
    77862 ÷ 131072     		x = 0.594039916992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57054 ÷ 217
    57054 ÷ 131072     		y = 0.435287475585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594039916992188 × 2 - 1) × π
    0.188079833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.59087022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435287475585938 × 2 - 1) × π
    0.129425048828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.406600782577316
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59087022} λ = 0.59087022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.406600782577316))-π/2
    2×atan(1.50170447938739)-π/2
    2×0.983317766139914-π/2
    1.96663553227983-1.57079632675     		φ = 0.39583921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59087022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.854370°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39583921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.679916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77862 KachelY 57054 0.59087022 0.39583921 33.854370 22.679916
    Oben rechts KachelX + 1 77863 KachelY 57054 0.59091816 0.39583921 33.857117 22.679916
    Unten links KachelX 77862 KachelY + 1 57055 0.59087022 0.39579498 33.854370 22.677382
    Unten rechts KachelX + 1 77863 KachelY + 1 57055 0.59091816 0.39579498 33.857117 22.677382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39583921-0.39579498) × R
    4.42299999999785e-05 × 6371000     		dl = 281.789329999863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39583921-0.39579498) × R
    4.42299999999785e-05 × 6371000     		dr = 281.789329999863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59087022-0.59091816) × cos(0.39583921) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.922673304499937 × 6371000     		do = 281.808176804954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59087022-0.59091816) × cos(0.39579498) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.92269035791764 × 6371000     		du = 281.813385357675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39583921)-sin(0.39579498))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.922673304499937-0.92269035791764)×R²
    abs(0.59091816-0.59087022)×1.70534177033055e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70534177033055e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70534177033055e-05×40589641000000     		ar = 79411.271200569m²