Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77861 / 57011
↖ ↑ ↗
← N 22.788843°
E 33.851624°		 ← 281.53 m → N 22.788843°
E 33.854370°		 →
↑
281.53 m
↓
↑
281.53 m
↓
N 22.786311°
E 33.851624°		 ← 281.53 m →
79 260 m²		 N 22.786311°
E 33.854370°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594036102294922 y=0.434963226318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594036102294922 × 217)
    floor (0.594036102294922 × 131072)
    floor (77861.5)     		tx = 77861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434963226318359 × 217)
    floor (0.434963226318359 × 131072)
    floor (57011.5)     		ty = 57011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77861 / 57011 ti = "17/77861/57011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77861/57011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77861 ÷ 217
    77861 ÷ 131072     		x = 0.594032287597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57011 ÷ 217
    57011 ÷ 131072     		y = 0.434959411621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594032287597656 × 2 - 1) × π
    0.188064575195312 × 3.1415926535     		Λ = 0.59082229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434959411621094 × 2 - 1) × π
    0.130081176757812 × 3.1415926535     		Φ = 0.408662069260979
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59082229} λ = 0.59082229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.408662069260979))-π/2
    2×atan(1.5048031153249)-π/2
    2×0.984268334862407-π/2
    1.96853666972481-1.57079632675     		φ = 0.39774034
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59082229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.851624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39774034 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.788843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77861 KachelY 57011 0.59082229 0.39774034 33.851624 22.788843
    Oben rechts KachelX + 1 77862 KachelY 57011 0.59087022 0.39774034 33.854370 22.788843
    Unten links KachelX 77861 KachelY + 1 57012 0.59082229 0.39769615 33.851624 22.786311
    Unten rechts KachelX + 1 77862 KachelY + 1 57012 0.59087022 0.39769615 33.854370 22.786311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39774034-0.39769615) × R
    4.41899999999995e-05 × 6371000     		dl = 281.534489999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39774034-0.39769615) × R
    4.41899999999995e-05 × 6371000     		dr = 281.534489999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59082229-0.59087022) × cos(0.39774034) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.921938594808541 × 6371000     		do = 281.525040846256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59082229-0.59087022) × cos(0.39769615) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.921955710289096 × 6371000     		du = 281.530267264143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39774034)-sin(0.39769615))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921938594808541-0.921955710289096)×R²
    abs(0.59087022-0.59082229)×1.71154805548301e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.71154805548301e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.71154805548301e-05×40589641000000     		ar = 79259.7445182126m²