Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77859 / 57123
↖ ↑ ↗
← N 22.504945°
E 33.846130°		 ← 282.17 m → N 22.504945°
E 33.848877°		 →
↑
282.17 m
↓
↑
282.17 m
↓
N 22.502407°
E 33.846130°		 ← 282.17 m →
79 620 m²		 N 22.502407°
E 33.848877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594020843505859 y=0.435817718505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594020843505859 × 217)
    floor (0.594020843505859 × 131072)
    floor (77859.5)     		tx = 77859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435817718505859 × 217)
    floor (0.435817718505859 × 131072)
    floor (57123.5)     		ty = 57123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77859 / 57123 ti = "17/77859/57123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77859/57123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77859 ÷ 217
    77859 ÷ 131072     		x = 0.594017028808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57123 ÷ 217
    57123 ÷ 131072     		y = 0.435813903808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594017028808594 × 2 - 1) × π
    0.188034057617188 × 3.1415926535     		Λ = 0.59072641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435813903808594 × 2 - 1) × π
    0.128372192382812 × 3.1415926535     		Φ = 0.403293136503532
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59072641} λ = 0.59072641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.403293136503532))-π/2
    2×atan(1.49674557812838)-π/2
    2×0.981790856660556-π/2
    1.96358171332111-1.57079632675     		φ = 0.39278539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59072641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.846130°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39278539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.504945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77859 KachelY 57123 0.59072641 0.39278539 33.846130 22.504945
    Oben rechts KachelX + 1 77860 KachelY 57123 0.59077435 0.39278539 33.848877 22.504945
    Unten links KachelX 77859 KachelY + 1 57124 0.59072641 0.39274110 33.846130 22.502407
    Unten rechts KachelX + 1 77860 KachelY + 1 57124 0.59077435 0.39274110 33.848877 22.502407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39278539-0.39274110) × R
    4.42900000000024e-05 × 6371000     		dl = 282.171590000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39278539-0.39274110) × R
    4.42900000000024e-05 × 6371000     		dr = 282.171590000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59072641-0.59077435) × cos(0.39278539) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.923846500313308 × 6371000     		do = 282.166501004417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59072641-0.59077435) × cos(0.39274110) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.923863451987965 × 6371000     		du = 282.171678482194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39278539)-sin(0.39274110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923846500313308-0.923863451987965)×R²
    abs(0.59077435-0.59072641)×1.69516746572063e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69516746572063e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69516746572063e-05×40589641000000     		ar = 79620.1007147099m²