Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77859 / 56986
↖ ↑ ↗
← N 22.852133°
E 33.846130°		 ← 281.45 m → N 22.852133°
E 33.848877°		 →
↑
281.47 m
↓
↑
281.47 m
↓
N 22.849602°
E 33.846130°		 ← 281.46 m →
79 222 m²		 N 22.849602°
E 33.848877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594020843505859 y=0.434772491455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594020843505859 × 217)
    floor (0.594020843505859 × 131072)
    floor (77859.5)     		tx = 77859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434772491455078 × 217)
    floor (0.434772491455078 × 131072)
    floor (56986.5)     		ty = 56986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77859 / 56986 ti = "17/77859/56986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77859/56986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77859 ÷ 217
    77859 ÷ 131072     		x = 0.594017028808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56986 ÷ 217
    56986 ÷ 131072     		y = 0.434768676757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594017028808594 × 2 - 1) × π
    0.188034057617188 × 3.1415926535     		Λ = 0.59072641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434768676757812 × 2 - 1) × π
    0.130462646484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.40986049175148
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59072641} λ = 0.59072641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.40986049175148))-π/2
    2×atan(1.50660758626539)-π/2
    2×0.984820642524422-π/2
    1.96964128504884-1.57079632675     		φ = 0.39884496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59072641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.846130°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39884496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.852133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77859 KachelY 56986 0.59072641 0.39884496 33.846130 22.852133
    Oben rechts KachelX + 1 77860 KachelY 56986 0.59077435 0.39884496 33.848877 22.852133
    Unten links KachelX 77859 KachelY + 1 56987 0.59072641 0.39880078 33.846130 22.849602
    Unten rechts KachelX + 1 77860 KachelY + 1 56987 0.59077435 0.39880078 33.848877 22.849602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39884496-0.39880078) × R
    4.41800000000048e-05 × 6371000     		dl = 281.47078000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39884496-0.39880078) × R
    4.41800000000048e-05 × 6371000     		dr = 281.47078000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59072641-0.59077435) × cos(0.39884496) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.921510173263291 × 6371000     		do = 281.452926586284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59072641-0.59077435) × cos(0.39880078) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.921527329853411 × 6371000     		du = 281.458166650518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39884496)-sin(0.39880078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921510173263291-0.921527329853411)×R²
    abs(0.59077435-0.59072641)×1.71565901204707e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.71565901204707e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.71565901204707e-05×40589641000000     		ar = 79221.5122548786m²