Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77857 / 57055
↖ ↑ ↗
← N 22.677382°
E 33.840637°		 ← 281.81 m → N 22.677382°
E 33.843384°		 →
↑
281.85 m
↓
↑
281.85 m
↓
N 22.674847°
E 33.840637°		 ← 281.82 m →
79 431 m²		 N 22.674847°
E 33.843384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594005584716797 y=0.435298919677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594005584716797 × 217)
    floor (0.594005584716797 × 131072)
    floor (77857.5)     		tx = 77857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435298919677734 × 217)
    floor (0.435298919677734 × 131072)
    floor (57055.5)     		ty = 57055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77857 / 57055 ti = "17/77857/57055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77857/57055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77857 ÷ 217
    77857 ÷ 131072     		x = 0.594001770019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57055 ÷ 217
    57055 ÷ 131072     		y = 0.435295104980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594001770019531 × 2 - 1) × π
    0.188003540039062 × 3.1415926535     		Λ = 0.59063054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435295104980469 × 2 - 1) × π
    0.129409790039062 × 3.1415926535     		Φ = 0.406552845677696
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59063054} λ = 0.59063054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.406552845677696))-π/2
    2×atan(1.5016324940559)-π/2
    2×0.983295650886705-π/2
    1.96659130177341-1.57079632675     		φ = 0.39579498
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59063054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.840637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39579498 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.677382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77857 KachelY 57055 0.59063054 0.39579498 33.840637 22.677382
    Oben rechts KachelX + 1 77858 KachelY 57055 0.59067848 0.39579498 33.843384 22.677382
    Unten links KachelX 77857 KachelY + 1 57056 0.59063054 0.39575074 33.840637 22.674847
    Unten rechts KachelX + 1 77858 KachelY + 1 57056 0.59067848 0.39575074 33.843384 22.674847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39579498-0.39575074) × R
    4.42400000000287e-05 × 6371000     		dl = 281.853040000183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39579498-0.39575074) × R
    4.42400000000287e-05 × 6371000     		dr = 281.853040000183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59063054-0.59067848) × cos(0.39579498) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.92269035791764 × 6371000     		do = 281.813385357675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59063054-0.59067848) × cos(0.39575074) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.922707413385301 × 6371000     		du = 281.818594536507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39579498)-sin(0.39575074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92269035791764-0.922707413385301)×R²
    abs(0.59067848-0.59063054)×1.70554676608425e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70554676608425e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70554676608425e-05×40589641000000     		ar = 79430.6935001553m²