Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77856 / 57463
↖ ↑ ↗
← N 21.639558°
E 33.837890°		 ← 283.90 m → N 21.639558°
E 33.840637°		 →
↑
283.89 m
↓
↑
283.89 m
↓
N 21.637005°
E 33.837890°		 ← 283.90 m →
80 598 m²		 N 21.637005°
E 33.840637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593997955322266 y=0.438411712646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593997955322266 × 217)
    floor (0.593997955322266 × 131072)
    floor (77856.5)     		tx = 77856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438411712646484 × 217)
    floor (0.438411712646484 × 131072)
    floor (57463.5)     		ty = 57463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77856 / 57463 ti = "17/77856/57463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77856/57463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77856 ÷ 217
    77856 ÷ 131072     		x = 0.593994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57463 ÷ 217
    57463 ÷ 131072     		y = 0.438407897949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593994140625 × 2 - 1) × π
    0.18798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.59058260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438407897949219 × 2 - 1) × π
    0.123184204101562 × 3.1415926535     		Φ = 0.386994590632713
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59058260} λ = 0.59058260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.386994590632713))-π/2
    2×atan(1.47254852569577)-π/2
    2×0.974238933395588-π/2
    1.94847786679118-1.57079632675     		φ = 0.37768154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59058260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.837890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37768154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.639558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77856 KachelY 57463 0.59058260 0.37768154 33.837890 21.639558
    Oben rechts KachelX + 1 77857 KachelY 57463 0.59063054 0.37768154 33.840637 21.639558
    Unten links KachelX 77856 KachelY + 1 57464 0.59058260 0.37763698 33.837890 21.637005
    Unten rechts KachelX + 1 77857 KachelY + 1 57464 0.59063054 0.37763698 33.840637 21.637005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37768154-0.37763698) × R
    4.45599999999713e-05 × 6371000     		dl = 283.891759999817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37768154-0.37763698) × R
    4.45599999999713e-05 × 6371000     		dr = 283.891759999817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59058260-0.59063054) × cos(0.37768154) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.929522103173287 × 6371000     		do = 283.899976208529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59058260-0.59063054) × cos(0.37763698) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.929538534481356 × 6371000     		du = 283.904994752955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37768154)-sin(0.37763698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929522103173287-0.929538534481356)×R²
    abs(0.59063054-0.59058260)×1.64313080693868e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.64313080693868e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.64313080693868e-05×40589641000000     		ar = 80597.5762848474m²