Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77851 / 56987
↖ ↑ ↗
← N 22.849602°
E 33.824158°		 ← 281.46 m → N 22.849602°
E 33.826905°		 →
↑
281.41 m
↓
↑
281.41 m
↓
N 22.847071°
E 33.824158°		 ← 281.46 m →
79 205 m²		 N 22.847071°
E 33.826905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593959808349609 y=0.434780120849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593959808349609 × 217)
    floor (0.593959808349609 × 131072)
    floor (77851.5)     		tx = 77851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434780120849609 × 217)
    floor (0.434780120849609 × 131072)
    floor (56987.5)     		ty = 56987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77851 / 56987 ti = "17/77851/56987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77851/56987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77851 ÷ 217
    77851 ÷ 131072     		x = 0.593955993652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56987 ÷ 217
    56987 ÷ 131072     		y = 0.434776306152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593955993652344 × 2 - 1) × π
    0.187911987304688 × 3.1415926535     		Λ = 0.59034292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434776306152344 × 2 - 1) × π
    0.130447387695312 × 3.1415926535     		Φ = 0.40981255485186
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59034292} λ = 0.59034292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.40981255485186))-π/2
    2×atan(1.50653536589979)-π/2
    2×0.984798555148481-π/2
    1.96959711029696-1.57079632675     		φ = 0.39880078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59034292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.824158°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39880078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.849602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77851 KachelY 56987 0.59034292 0.39880078 33.824158 22.849602
    Oben rechts KachelX + 1 77852 KachelY 56987 0.59039086 0.39880078 33.826905 22.849602
    Unten links KachelX 77851 KachelY + 1 56988 0.59034292 0.39875661 33.824158 22.847071
    Unten rechts KachelX + 1 77852 KachelY + 1 56988 0.59039086 0.39875661 33.826905 22.847071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39880078-0.39875661) × R
    4.417000000001e-05 × 6371000     		dl = 281.407070000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39880078-0.39875661) × R
    4.417000000001e-05 × 6371000     		dr = 281.407070000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59034292-0.59039086) × cos(0.39880078) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.921527329853411 × 6371000     		do = 281.458166650518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59034292-0.59039086) × cos(0.39875661) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.9215444807621 × 6371000     		du = 281.463404979496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39880078)-sin(0.39875661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921527329853411-0.9215444807621)×R²
    abs(0.59039086-0.59034292)×1.71509086888122e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.71509086888122e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.71509086888122e-05×40589641000000     		ar = 79205.0550689441m²