Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7785 / 3236
↖ ↑ ↗
← N 72.996909°
W  8.942871°		 ← 714.47 m → N 72.996909°
W  8.920898°		 →
↑
714.64 m
↓
↑
714.64 m
↓
N 72.990482°
W  8.942871°		 ← 714.73 m →
510 680 m²		 N 72.990482°
W  8.920898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475189208984375 y=0.197540283203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475189208984375 × 214)
    floor (0.475189208984375 × 16384)
    floor (7785.5)     		tx = 7785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197540283203125 × 214)
    floor (0.197540283203125 × 16384)
    floor (3236.5)     		ty = 3236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7785 / 3236 ti = "14/7785/3236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7785/3236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7785 ÷ 214
    7785 ÷ 16384     		x = 0.47515869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3236 ÷ 214
    3236 ÷ 16384     		y = 0.197509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47515869140625 × 2 - 1) × π
    -0.0496826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15608255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197509765625 × 2 - 1) × π
    0.60498046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.90060219613599
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15608255} λ = -0.15608255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90060219613599))-π/2
    2×atan(6.68992187460841)-π/2
    2×1.42241636759649-π/2
    2.84483273519299-1.57079632675     		φ = 1.27403641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15608255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.942871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27403641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.996909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7785 KachelY 3236 -0.15608255 1.27403641 -8.942871 72.996909
    Oben rechts KachelX + 1 7786 KachelY 3236 -0.15569905 1.27403641 -8.920898 72.996909
    Unten links KachelX 7785 KachelY + 1 3237 -0.15608255 1.27392424 -8.942871 72.990482
    Unten rechts KachelX + 1 7786 KachelY + 1 3237 -0.15569905 1.27392424 -8.920898 72.990482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27403641-1.27392424) × R
    0.000112169999999967 × 6371000     		dl = 714.63506999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27403641-1.27392424) × R
    0.000112169999999967 × 6371000     		dr = 714.63506999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15608255--0.15569905) × cos(1.27403641) × R
    0.000383499999999981 × 0.292423291158863 × 6371000     		do = 714.471540187655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15608255--0.15569905) × cos(1.27392424) × R
    0.000383499999999981 × 0.292530556254198 × 6371000     		du = 714.733618688886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27403641)-sin(1.27392424))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292423291158863-0.292530556254198)×R²
    abs(-0.15569905--0.15608255)×0.00010726509533443×R²
    0.000383499999999981×0.00010726509533443×6371000²
    0.000383499999999981×0.00010726509533443×40589641000000     		ar = 510680.064913627m²